Symmetrieeigenschaften von Wigners Matrizen

Ich habe einen Ausdruck der Form

S = ∑ M , N = − J J ( − 1 ) M − N D M N J ( G ) D M N J ( G )

Dies ist das Endergebnis einer langen Berechnung, von der ich ziemlich überzeugt bin, dass sie richtig ist. Aus mehreren Gründen erwarte ich, dass es möglich sein sollte, das Ergebnis in Form der Zeichen von SU(2) zu schreiben. Allerdings sehe ich nicht, wie das hier möglich ist.

Am Ende muss ich irgendwie die Spur bekommen. Zunächst müssten wir die Reihenfolge der Indizes einer der Wigner-Matrizen ändern. Dies kann durch Transponieren erfolgen, dh

D J ( G ) M N = D J ( G ) N M T

Allerdings müssen wir den Vorzeichenfaktor noch loswerden, und die einzige Möglichkeit, die mir einfällt, ist die Verwendung der Formel

D M N J ( G ) = ( − 1 ) M − N D − M − N J ( G ) ∗

Wenn ich das kombiniere, bekomme ich so etwas wie

S = ∑ M , N = − J J D J ( G ) − N − M † D M N J ( G )

Dies scheint jedoch nicht zu helfen. Vermisse ich eine Eigenschaft der Wigner-Matrizen?

Haben Sie ein einfaches Beispiel ausprobiert, zB mit j=1/2 oder 1?

Antworten (1)

Laut §. 4.4.4 von

Varshalovich, DA, Moskalev, AN und Khersonskii, VKM, 1988. Quantentheorie des Drehimpulses

( − 1 ) M ' − M D M M ' J ( a , β , γ ) = D M ' M J ( γ , β , a ) = D M ' M J ( G ¯ )

Also deine Summe

∑ M , N ( − 1 ) M − N D M N J ( G ) D M N J ( G ) = ∑ M , N D N M J ( G ¯ ) D M N J ( G ) = ∑ N D N N J ( G ¯ G )
ist zwar ein Charakter, aber von G ¯ G , nicht von G .

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