Lorentztransformationen für Spinoren

Der berühmteste Satz von Wigner besagt, dass in einem komplexen Hilbert-Raum$H$, jede bijektive Abbildung, die Strahlen in Strahlen sendet (ein Strahl ist ein Einheitsvektor bis zu einer Phase) und die Übergangswahrscheinlichkeiten beibehält, wird (bis auf eine Phase) durch eine unitäre oder antiunitäre (je nach Ausgangsabbildung if$\dim H>1$) Karte ein$H$.

Umgang mit Spinoren$\Psi \in \mathbb C^4$,$H= \mathbb C^4$und es gibt kein Hilbertraumprodukt (positive sesquilineare Form), so dass die Übergangswahrscheinlichkeiten unter der Wirkung von erhalten bleiben$S(\Lambda)$, so dass der Satz von Wigner nicht ins Spiel kommt.

Außerdem$S$befasst sich mit einem endlichdimensionalen Hilbert-Raum$\mathbb C^4$und es ist möglich zu beweisen, dass in endlichdimensionalen Hilbert-Räumen keine nicht-triviale einheitliche Darstellung für eine nicht-kompakte zusammenhängende halbeinfache Lie-Gruppe existiert, die keine echten nicht-trivialen geschlossenen normalen Untergruppen enthält. Die orthochrone eigentliche Lorentz-Gruppe hat diese Eigenschaft. Ein einfaches Argument erweitert das negative Ergebnis auf seine universelle Deckung$SL(2, \mathbb C)$.

Nicht-triviale einheitliche Darstellungen von$SL(2,\mathbb C)$sind notwendigerweise unendlich dimensional. Einer der elementarsten Fälle wird durch den Hilbert-Raum beschrieben$L^2(\mathbb R^3, dk)\otimes \mathbb C^4$wo der unendlichdimensionale Faktor$L^2(\mathbb R^3, dk)$auftaucht.

Diese Darstellung ist der Baustein für die Konstruktion anderer Darstellungen und insbesondere des Fock-Raums des Dirac-Quantenfelds.

Dies ist ein weit verbreiteter Irrtum.

Lorentz-Gruppe$SO(3,1)$(oder seine Doppelabdeckung$SL(2,\mathbb{C})$wenn Sie Wigners Analyse von Symmetrien in QM folgen möchten) ist nicht kompakt . Dies bedeutet, dass es keine endlichdimensionalen einheitlichen Darstellungen gibt (die Unfähigkeit, hermitische Clifford-Basiselemente zu wählen, ist nur eine Folge davon).

Wenn Sie klassische Dirac-Spinoren konstruieren, brauchen Sie keine Einheitlichkeit. In der Tat besteht keine Notwendigkeit für$S(\Lambda)$eine einheitliche Vertretung sein. Wir haben es hier mit einem klassischen Gebiet zu tun, und Einheitlichkeit ist in der klassischen Physik nicht erforderlich.

In der QFT haben wir es mit einem Quanten-Dirac-Feld zu tun. Der Zustandsraum (fermionischer Fockraum) der freien QFT ist unendlichdimensional und unitär . Dies widerspricht gerade wegen der unendlichen Dimensionalität nicht der ursprünglichen Behauptung.

Die Klassifizierung der unendlichdimensionalen unitären Irreps der Poincare-Gruppe (inhomogene Lorentz-Gruppe, wenn Sie so wollen) wurde von Wigner vorgenommen. Es verwendet die endlichdimensionale nichteinheitliche Darstellungstheorie von$SL(2,\mathbb{C})$(was der endlichdimensionalen Darstellungstheorie der komplexen Lie-Algebra entspricht$\mathfrak{so}(4)\sim\mathfrak{D}_2$) schwer.

Zusammenfassend: Der Unterschied besteht darin, dass Poincare-Generatoren der QFT einheitlich auf dem unendlichdimensionalen Fock-Raum agieren. Die klassische Transformation des Spinorfeldes wird durch diese Aktion respektiert, muss aber nicht und ist nicht einheitlich.