Die Symmetriegruppe und Darstellung des Spin-NNN-Teilchens

Hier gibt es einige Verwirrungen, daher werde ich meine Antwort modular gestalten.

• Eine Repräsentation$R$einer Gruppe$G$ist ein Vektorraum$V$zusammen mit Betreibern$R(g)$für$g \in G$die auf diesem Raum wirken. Wenn also nur ein Vektorraum gegeben ist, ist es bedeutungslos zu sagen, wovon er eine Darstellung ist; Sie müssen die Operatoren angeben.
• Gegeben sei nur ein Vektorraum$V$, es ist sinnlos zu fragen, was$G$Ist. Jeder Vektorraum kann als Darstellung buchstäblich jeder Gruppe betrachtet werden$G$wie auch immer, mit$R(g)$einfach Sein, zB die Identitätsmatrix für alle$g \in G$.
• In der Physik beginnen wir mit einem Vektorraum$\mathcal{H}$, dem Zustandsraum eines Quantensystems. Dann identifizieren wir physikalische Operationen wie Rotationen, Isospin-Rotationen, Farbrotationen und so weiter. Jede dieser Operationen hat als Menge die Struktur einer Gruppe ($SU(2)$,$SU(2)$, Und$SU(3)$).
• Wir postulieren, dass diese Operationen (z. B. die physikalische Operation des Rotierens eines Systems) mit Operatoren verbunden sind$\mathcal{H}$, machen$\mathcal{H}$in eine Darstellung der entsprechenden Gruppe.
• Wir sagen, das System hat zB Rotationssymmetrie, wenn der Hamiltonoperator mit allen Rotationsoperatoren kommutiert. Dies impliziert, dass die Zustände in jeder irreduziblen Darstellung genau dieselbe Energie haben, was im Wesentlichen die Symmetrieanalyse nützlich macht.

Okay, kommen wir nun zu deiner eigentlichen Frage. Wir bekommen die$2N+1$Zustände einer Drehung$N$Partikel, und Sie möchten wissen, ob es symmetrisch ist$SU(2N+1)$.

• Die Staaten bilden in der Tat eine Repräsentation von$SU(2)$, bei dem die$SU(2)$kommt von Drehungen; das ist nur durch die Definition eines Spins$N$Partikel. Wenn wir Rotationssymmetrie haben, müssen die Zustände alle die gleiche Energie haben.
• Beachten Sie, dass Spin fast ausschließlich verwendet wird, um Darstellungen der Rotationsoperatoren zu beschreiben. Mit einer Darstellung von ist kein Spin verbunden$SU(3)$. Sogar die Zwei-Zustands-Darstellung von Isospin, die auch eine Symmetriegruppe hat$SU(2)$, heißt nicht „Spin 1/2“ oder gar „Isospin 1/2“. Stattdessen wird es normalerweise als "Isospin-Dublette" oder "$2$von Isospin'.
• Mathematisch lassen sich die Zustände zwar darstellen$SU(2N+1)$, wobei die Darstellung einer Matrix$U \in SU(2N+1)$ist nur die Matrix selbst. Sie könnten aber auch eine (reduzierbare) Darstellung von bilden$SU(2N)$, wo die Darstellung von$U \in SU(2N)$Ist $$R(U) = \begin{pmatrix} U & \\ & 1 \end{pmatrix}.$$ Ebenso könnten sie eine Darstellung von sein$SU(2N-1)$, oder buchstäblich jeder Gruppe, wo die Darstellung ist$R(U) = I$. Dies ist nur der zweite Aufzählungspunkt oben. Beachten Sie, dass keine dieser Gruppen als Symmetriegruppe bezeichnet werden kann, es sei denn, Sie wissen, dass die Darstellungsoperatoren mit dem Hamilton-Operator kommutieren.
• Grundsätzlich ist das Bilden von Darstellungsoperatoren in der Physik nicht sinnvoll, es sei denn, sie entsprechen einer physikalischen Operation. In dem von Ihnen verlinkten Artikel wird behauptet, dass es sich um ein Spin-System handelt$N$Atome haben eine Symmetrie, indem sie die Hyperfeinzustände ineinander drehen; dies unterscheidet sich nicht allzu sehr von zB Farb- oder Isospinrotationen. Das ist es also$SU(2N+1)$bedeutet, aber das ist spezifisch für dieses System, das sie studieren.

Der Darstellungsraum des Spins$j$Darstellung kann als eine symmetrische Sammlung von gedacht werden$2j$Qubits. Zum Beispiel für$j = \frac{3}{2}$, eine orthonormale Basis von its$4$-dimensionaler Darstellungsraum ist gegeben durch:

Die Gruppe$SU(2j+1)$enthält Elemente, die die Qubits unterschiedlich drehen und sich zusätzlich zwischen ihnen vermischen.

$SU(2)$ist immer die Symmetriegruppe für Teilchen mit beliebigem Spin, da die Generatoren des Spins Rotationen sind. Was sich ändert, ist die Dimension der Darstellung von$SU(2)$musst du verwenden. Für Spin-$N$Teilchen, verwenden wir eine Darstellung von$SU(2)$An$\mathbb{C}^{2N+1}$.

Es ist nicht das Gleiche. A$2N+1$Die dimensionale Darstellung von SU(2) hätte nur drei Generatoren:$L_+, L_-$Und$L_z$. Insbesondere,$L_+$Und$L_-$verbinden nur Staaten mit$\Delta m= \pm 1$, dh kann nur "benachbarte" Staaten verbinden (dies ist eine lose Terminologie). Außerdem ist die Größe der Matrixelemente als grundlegende Kommutierungsbeziehung ziemlich eingeschränkt$[L_+,L_-]=2L_z$sind von der Vertretung aufzubewahren.

Auf der anderen Seite Generatoren von$su(2n+1)$sind von der Form$C_{ij}$mit$i,j=1,\ldots, 2n+1$die Matrixelemente ungleich Null dazwischen haben$i$Und$j$, dh diese können "nicht benachbarte" Staaten verbinden. Die Größe des Matrixelements von$C_{ij}$Ist$1$und die Matrizen müssen genügen$[C_{ij},C_{k\ell}]= \delta_{jk}C_{i\ell}-\delta_{j\ell}C_{kj}$.

Mit anderen Worten, ja, es ist möglich, a zu konstruieren$2n+1$dimensionale Darstellung von$su(2)$aber diese Repräsentation ist NICHT dasselbe wie die Definition$2n+1$dimensionale Darstellung von$su(2n+1)$.

Betrachten Sie als einfaches Beispiel die Gell-Mann-Matrizen für$su(3)$. Sie können leicht genug konstruieren a$3$-dimensional unabhängig von$su(2)$des Drehimpulses$\ell=1$, aber die drei Matrizen für$L_+,L_-$Und$L_z$sehen überhaupt nicht wie die 8 Gell-Mann-Matrizen aus; Es ist möglich, einige zu schreiben, aber nicht alle$su(2)$Generatoren sind lineare Kombinationen der Gell-Mann-Matrizen, aber es ist sicherlich nicht möglich, die 8 linear unabhängigen Gell-Mann-Matrizen in Bezug auf die 3 linear unabhängigen Drehimpulsmatrizen der Dimension zu schreiben$3$. Wenn überhaupt, gibt es zwei diagonale Gell-Mann-Matrizen, aber nur eine Diagonale$su(2)$Matrix.