Was repräsentieren die vier Komponenten von Dirac-Spinoren im Standardmodell?

Question

Was repräsentieren die vier Komponenten von Dirac-Spinoren im Standardmodell?

jcelios

Ich habe versucht, mich mit den im Standardmodell verwendeten Formalismen vertraut zu machen. Von dem, was ich gesammelt habe, sind Dirac-Spinoren 4-Komponenten-Objekte, die entworfen wurden, um von Lorentz-Transformationen bearbeitet zu werden, ähnlich wie 4-Vektoren in der Speziellen Relativitätstheorie. Sie enthalten jedoch auch zusätzliche Informationen: Spin und "Händigkeit". Aufgrund der Natur von Spin transformieren Spinoren auch anders als Vektoren.

Dies hinterlässt bei mir den Eindruck, dass die 4 Komponenten wie folgt klassifiziert werden können: Linkshänder und Spin Up, Linkshänder und Spin Down, Rechtshänder und Spin Up, Rechtshänder und Spin Down.

Meine Frage ist, ob dieser Eindruck die richtige allgemeine Idee ist oder nicht?

Trimok

Ihre Dirac-Bi-Spinor-Basis wird als Weyl-Basis oder chirale Basis bezeichnet. Aber für die Dirac-Gleichung gibt es verschiedene Basis, wie die Dirac-Basis. Jede Basis entspricht einer anderen Darstellung der Gammamatrizen .

Antworten (4)

Was repräsentieren die vier Komponenten von Dirac-Spinoren im Standardmodell?

Ihre Dirac-Bi-Spinor-Basis wird als Weyl-Basis oder chirale Basis bezeichnet. Aber für die Dirac-Gleichung gibt es verschiedene Basis, wie die Dirac-Basis. Jede Basis entspricht einer anderen Darstellung der Gammamatrizen .

Verrückter Max · Answer 1

Die 4 Komponenten können wie folgt klassifiziert werden: Linkshänder und Spin Up, Linkshänder und Spin Down, Rechtshänder und Spin Up, Rechtshänder und Spin Down.

Ihre Klassifikation ist in dem Kontext, in dem Sie sie setzen, darstellungsabhängig.

Es gibt jedoch eine darstellungsunabhängige Möglichkeit, dasselbe mit zwei (orthogonalen) Projektionen zu tun:

\begin{aligned} Chirale Projektion & : \frac{1}{2} (1 \pm γ^{5}) = \frac{1}{2} (1 \pm ich γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3}), \\ Spin-Projektion & : \frac{1}{2} (1 \pm 2 S^{3}) = \frac{1}{2} (1 \pm ich γ^{1} γ^{2}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} \text{Chiral Projection}&:\ \frac{1}{2}(1\pm \gamma^5) = \frac{1}{2}(1\pm i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3), \\ \text{Spin Projection}&:\ \frac{1}{2}(1\pm 2S^3) = \frac{1}{2}(1\pm i\gamma^1\gamma^2). \end{aligned}$

Die spezifische Darstellung von Ihnen besteht darin, die 4 Eigenvektoren der obigen Projektionen als Basis zu wählen.

Achmeteli · Answer 2

Achmeteli

Es hängt von der Darstellung der Gamma-Matrizen ab. Das können zum Beispiel die vier Kombinationen Elektron/Positron und Spin up/Spin down sein.

Michael

In jeder anderen Darstellung sind die Komponenten nur Linearkombinationen dieser. Die darin enthaltenen Informationen sind also dieselben, sie werden nur anders verpackt.

Achmeteli

@Michael Brown: Ich stimme zu, aber das bedeutet, dass die 4 Komponenten nicht "klassifiziert werden können als: Linkshänder und Spin Up" usw., wie OP vorschlägt, unabhängig von der Darstellung.

frei

Die 4 DOF sind komplex, könnten hinzufügen, dass zusätzliche DOF durch EoM usw. eliminiert werden.

Michael

Vielleicht lohnt es sich zu klären, dass Sie die 4 dof mit den Projektionsoperatoren auf unveränderliche Weise klassifizieren können

(γ^{μ} p_{μ} \pm m) / 2 m

$(\gamma^\mu p_\mu \pm m)/2m$ und

(1 \pm γ^{5}) / 2

$(1\pm\gamma^5)/2$ , die auf einer bestimmten Basis schöne diagonale Formen annehmen. Die angepasste Basis ist schön, wenn Sie sich für diese Projektoren interessieren, obwohl Sie jede gewünschte Basis verwenden können. Aber man sieht an dieser Konstruktion, dass der physikalische Inhalt des Feldes unabhängig von der Darstellung ist.

Achmeteli

@Michael Brown: Auch hier stimme ich zu, aber OP scheint nicht über "den physischen Inhalt des Feldes" zu sprechen, sondern er spricht über den physischen Inhalt "der vier Komponenten", und dies hängt von der Darstellung ab .

Michael

@EdwardHughes Was? Elektronen und Positronen entsprechen der positiven Frequenz (

u e^{- i p x}

$u e^{-ipx}$ ) und negative Frequenz (

v e^{+ i p x}

$v e^{+ipx}$ ) Lösungen der Dirac-Gleichung. Beide sind in demselben Dirac-Spinorfeld enthalten. Siehe zum Beispiel Peskin & Schroeder Gl. 3.99. Die Projektionsoperatoren, die ich erwähnt habe, projizieren auf die links- und rechtshändigen Teile von

u

$u$ und

v

$v$ . Ob Sie nach linkem / rechtem Teilchen / Antiteilchen klassifizieren, ist äquivalent zu, aber nur einer Neuordnung von, linker / rechter Drehung nach oben / unten.

Eduard Hughes

Entschuldigung - meine ursprünglichen Kommentare waren falsch. Es war spät in der Nacht, als ich sie schrieb! Ich verstehe jedoch Ihre Behauptung nicht, dass Teilchen / Antiteilchen einfach in Spin-Up / Down "umgemischt" werden können. Sie meinen sicherlich, dass linkes/rechtes Teilchen/Antiteilchen äquivalent zu Spin-Up/Down-Teilchen/Antiteilchen ist, je nachdem, was die Darstellung manifestiert?

Timäus

@EdwardHughes Sie müssen jemanden markieren (so wie ich Sie markiert habe), damit er über Ihren Kommentar benachrichtigt wird. Ich denke, der Verfasser der Frage oder Antwort, die Sie kommentieren, wird möglicherweise automatisch benachrichtigt, andere jedoch nicht.

Benutzer8817 · Answer 3

Im Fall von Vertretungen $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$ der Lorentz-Gruppe müssen wir die direkte Summe nehmen $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right) + \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$ , wenn wir unsere Darstellungen irreduzibel machen wollen. Es wird verursacht, indem auf diskreten Raum (und Zeit) inverse Operatoren auf den Raum der Lorentz-Gruppe wirken: Sie übertragen $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$ Vertretung zu $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$ , Also $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$ allein ist nicht die Darstellung der gesamten Lorentz-Gruppe. Wenn wir unser Feld real (nicht komplex) machen wollen, müssen wir auch die direkte Summe der Wiederholungen nehmen (durch analoge Argumentation). Aber dann müssen wir durch Projektionsoperatoren, die nur verlassen, auf das Direkt-Sum-Rep-Feld einwirken $n + m + 1$ unabhängige Komponenten eines Feldes, wie es beim Spin der Fall sein muss $s = \frac{n + m}{2}$ aufstellen.

Reden wir also über Sonderfälle. Dirac Bispinor bezieht sich auf die direkte Summe von $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ und $\left( 0, \frac{1}{2}\right)$ Darstellungen, die linkshändigen und rechtshändigen Darstellungen entsprechen (als Chiralität bezeichnet). Jede dieser Darstellungen bezieht sich auf den Spin $\frac{1}{2}$ -Teilchen, und seine Projektion kann sein $\pm \frac{1}{2}$ . Aber die Dirac-Gleichung, die der Projektionsoperator auf den zweidimensionalen Raum unabhängiger Komponenten ist (wie es für Spin sein muss $\frac{1}{2}$ be), mischt diese Komponenten im Allgemeinen. jedoch in einem Fall von $m = 0$ Komponenten unterschiedlicher Chiralität werden nicht miteinander vermischt, und die Dirac-Gleichung führt zu zwei unabhängigen Gleichungen, die Weyl-Gleichungen genannt werden. Dies kann sogar auf Dirac-Basis erfolgen.

Auch die Antikommutierungsbeziehungen zwischen Dirac-Matrizen und der Form der Dirac-Gleichung ändern sich bei unitären Transformationen nicht: $\gamma ' = U\gamma U^{-1}, \Psi ' = U\Psi$ , also durch Einnahme $U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 && \sigma_{y} \\ \sigma_{y} && -1\end{pmatrix}$ Sie machen die Spinorgleichungen unabhängig. In diesem Fall können Sie also auch Ihre Klassifizierung verwenden.

Garret Sobczyk · Answer 4

Ein Zweikomponenten-Spinor kann geometrisch so interpretiert werden, dass er einen Punkt auf der Riemann-Kugel darstellt, der durch das Verhältnis seiner beiden komplexen Komponenten und seine stereografische Projektion auf die xy-Ebene definiert ist. In ähnlicher Weise kann ein Vierkomponenten-Spinor durch ein komplizierteres Verhältnis, das durch seine vier komplexen Komponenten definiert ist, als ein Punkt auf der Riemann-Kugel gefolgt von einer Lorentz-Transformation und seiner stereographischen Projektion auf die komplexe Projektionsebene interpretiert werden $P^2_C$ . Meine jüngsten Arbeiten „Vector Analysis of Spinors“ und „Spacetime Algebra of Dirac Spinors“, die sich mit diesen verwirrenden Themen befassen, finden Sie auf meiner Website: http://www.garretstar.com/

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jcelios

Trimok

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Verrückter Max

Achmeteli

Michael

Achmeteli

frei

Michael

Achmeteli

Michael

Eduard Hughes

Timäus

Benutzer8817

Garret Sobczyk

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