Eine Frage zum relativistischen Spinoperator

Die Frage stammt aus Ryders Quantum Field Theory, 2. Auflage. Der Autor suchte nach relativistischen Spinoperatoren. Man kam zu dem Schluss, dass dies nicht sein kann J 2 := J ⋅ J , Wo J ich ist der Generator für die Rotation in der Lorentz-Gruppe.

S.56:

… Σ ist natürlich die repräsentative Matrix von J , also schlussfolgern wir, dass der relativistische Spinoperator dies nicht ist 1 2 J . Dies wird dadurch bestätigt, dass J ⋅ J = J 2 (cf(2.167)) kommutiert nicht mit allen Generatoren der Lorentzgruppe. Zum Beispiel, … , [ J 2 , K 1 ] ≠ 0 .

Später fand Ryder heraus, dass das Quadrat des Pauli-Lubanski-Operators der Kasimir-Operator ist, aber immer noch nicht der relativistische Spin-Operator. (Es wurde auf Literatur verwiesen)

Ich habe hier eine Frage zur Logik. Warum der Spin-Operator mit allen Generatoren in der Lorentz-Gruppe pendeln muss. Wenn der Spin-Operator mit dem Hamilton-Operator kommutiert, handelt es sich um eine Erhaltungsgröße. Wir können den Eigenwert verwenden, um Zustände zu kennzeichnen (gute Quantenzahl). Das ist genau [ H , J ich ] = 0 . Ist das immer noch unzureichend, weil es Frame-abhängig sein kann?

Antworten (2)

Die Antwort basiert auf der folgenden Ref (Kapitel v , Seiten 5 , 6 )

Beim relativistischen Spin-Operator bedeutet dies meiner Meinung nach, dass man einen Ausdruck für a sucht 3 Dimensionsoperator S → , wie zum Beispiel S 2 = 1 M 2 W μ W μ (Hier , W μ ist der Pauli-Lubanski (Pseudo)Vier-Vektor ) mit dem Üblichen S U ( 2 ) Vertauschungsbeziehung für die S ich . So S 2 ist das Verhältnis von zwei Casimirs und sollte mit allen Generatoren kommutieren.

Mit einigen zusätzlichen Annahmen, dass die S → als (Pseudo-)Vektor transformieren (Gleichung ( 74 ) Buchseite 5 der Ref), und dass die S → mit dem Momenta-Operator kommutieren, kann man einen Ausdruck für den Operator finden S → (siehe Formeln ( 75 ) , ( 76 ) , ( 77 ) Buchseite 5 der Ref).

Lorents Transformation ist nicht trivial für S → , siehe Formel ( 92 ) Buchseite 6 der Ref.

Die Schwierigkeit bei der Kennzeichnung von Staaten mit J 2 liegt in der Tat daran, dass es in verschiedenen Referenzrahmen keine gute Quantenzahl ist.

Indem Sie verlangen, dass der Betreiber, Ö , Sie möchten Ihre Zustandspendel mit dem Hamilton-Operator beschreiben, den Sie benötigen

[ P 0 , Ö ] = 0
Jedoch, Ö kann bei unterschiedlichen Impulswerten nicht gleich sein (dh keine gute Bezeichnung, wenn wir unterschiedliche Frames berücksichtigen wollen). In der QFT wollen wir Zustände, die in allen Bezugsrahmen beschrieben werden können. So verlangen wir
[ P μ , Ö ] = 0
In Ihrem Fall der Betreiber J 2 pendelt nicht mit den räumlichen Impulskomponenten,
[ P ich , J 2 ] ≠ 0
daher ist es in einer relativistischen Theorie kein nützliches Etikett. Beachten Sie, dass wenn die Eigenwerte von P ich sehr klein sind, kann man das zeigen J 2 pendelt tatsächlich mit den Impulsen, also ist es eine gute Bezeichnung in der Quantenmechanik.

Stattdessen können Sie die Idee von erweitern J 2 Zu W μ W μ wie von Trimok erwähnt.

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