Was ist die Interpretation der elektromagnetischen Spindichte von Chern-Simons?

Der Drehimpuls des elektromagnetischen Feldes hat folgende Zerlegung:

$\mathbf{J} = \frac{1}{4\pi c}\int d^3x \mathbf{x}\times(\mathbf{E}\times \mathbf{B} )= \frac{1}{4\pi c}\int d^3x\left [ \mathbf{E}\times \mathbf{A} + \sum_{j=1}^3 E_j(\mathbf{\nabla}\times\mathbf{x})A_j \right]$

Dieser Ausdruck erscheint zum Beispiel in Jackson: Classical electrodynamics (zweite Ausgabe) in Problem: 7.19. Der zweite Term kann aus folgenden Gründen als Bahndrehimpuls interpretiert werden: 1) Er ist ein gewichteter Mittelwert des Drehimpulsoperators:$(\mathbf{\nabla}\times\mathbf{x})$, 2) Ihre Dichte verschwindet identisch für eine ebene Welle.

Die Dichte des ersten Terms hingegen ist nicht von der Position im Raum abhängig. Darüber hinaus sind in der zeitlichen Anzeige, wo die kanonischen Poisson-Klammern sind:

$\left \{ E_i(\mathbf{x}), A_j(\mathbf{y}) \right \} = -i \hbar \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y})\delta_{ij}$

Der erste Begriff$\frac{1}{4\pi c}\int d^3x \mathbf{x}\times(\mathbf{E}\times \mathbf{B} )$, erfüllt die Drehimpulskommutierungsbeziehungen (im Poisson-Klammer-Niveau). Darüber hinaus hat dieser Term auf der Quantenebene einen Eigenwert von$+1$auf links polarisierte Photonen und$-1$auf rechts polarisierten Photonen. Somit kann er als Helizitätsoperator interpretiert werden.

Die einzige Schwierigkeit bei der obigen Zerlegung besteht darin, dass sie nicht eichinvariant ist (nur die Komponenten, da der Gesamtdrehimpuls eichinvariant ist). Dies ist eine allgemeine Eigenschaft relativistischer Systeme.

Der Gesamtdrehimpuls ist die Noetherladung der Rotationsgruppe$SO(3)$. Eine Kovariantisierung der "Spindichte" wäre also die Noether-Ladung der Lorentz-Gruppe$SO(3, 1)$.

Nun ist der Spin ein Quantenphänomen in dem Zusammenhang, dass seine Quantisierung nicht klassisch erklärt werden kann. Aber es hat Keime in der klassischen Theorie. Masselose relativistische Teilchen entsprechen bekanntlich der kleinen Gruppe der Wigners$E(2)$. Eine genauere Beschreibung erfolgt durch die Theorie der koadjungierten Bahnen, wobei die masselosen Teilchen der Bahn entsprechen:$(SO(3,1) \rtimes R(4))/(E(2) \times U(1)) = \mathbb{R}^3 \times (\mathbb{R}^3 - 0)$, siehe bitte arxiv:0912.218 von: Carinena, Gracia-Bondia, Lizzi, Marmob und Vitale. Die koadjungierte Umlaufbahn beschreibt die physikalischen Freiheitsgrade (nach Reduktion aller Eichfreiheiten), im Fall eines masselosen Teilchens 3 Ortskoordinaten und 3 Impulskoordinaten außer dem Nullimpuls, der für ein masseloses Teilchen nicht erlaubt ist. Die koadjungierte Umlaufbahn hat eine symplektische Struktur und beschreibt vollständig die klassische Dynamik eines freien masselosen Teilchens. Es gibt nur bestimmte Werte (des Koeffizienten der) symplektischen Struktur, für die die koadjungierte Umlaufbahn quantisiert werden kann. Dieser Koeffizient stellt sich als Helizität heraus, und nach seiner Quantisierung erhält das Teilchen eine Helizität. Dies ist der Vorgang der Vorquantisierungin unserem Fall. Es liegt an der Grenze zwischen Klassik und Quanten und einige Leute betrachten es als Teil der klassischen Theorie. Tatsächlich arbeiten wir viel in diesem Rahmen, zum Beispiel bei der Berechnung einer klassischen Zustandssumme eines Spinsystems verwenden wir die Tatsache, dass der Spin quantisiert ist, aber nichts anderes aus der Quantentheorie, also arbeiten wir innerhalb der Präquantisierung.

Der axiale Spinvektor des EM-Feldes

Im Kontext der Pointcaré-Algebra können wir betrachten$C^\mu$als Pauli-Lubanski-Vektor des elektromagnetischen Feldes.

$$\begin{equation} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&& \\ & \mbox{transl.} & \mbox{Lorentz} & \mbox{rotation} & \mbox{boost} & \mbox{Pauli Lubanski vect.} \\ \hline &&&&& \\ \mbox{Poincaré:} & P^\mu & J^{\mu\nu} & J^i & K^i & W^\mu=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,J_{\alpha\beta}\,P_\nu \\ &&&&& \\ \hline &&&&& \\ \\ \mbox{e.m. field:} & A^\mu & F^{\mu\nu} & B^i & E^i & \,C^\mu\,=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,F_{\alpha\beta}\,A_\nu \\ &&&&& \\ \hline \end{array} \end{equation}$$

Es transformiert sich wie ein axialer Vektor in der relativistischen Lorentz-Eichung, was eine absolute Voraussetzung dafür ist, dass ein Ausdruck als Spin des EM-Felds betrachtet wird.

$C^\mu$enthält den bekannteren Ausdruck$\epsilon_o\vec{E}\times\vec{A}$aber dieser Term allein ist kein 4er-Vektor und transformiert nicht korrekt, auch nicht in der Lorentz-Eichung. Es gibt eine sehr interessante Korrespondenz von$C^\mu$mit dem Achsenvektor des Fermionenfeldes:

$$\begin{equation} j_\circlearrowleft^\mu\ =\ \frac{iq_e}{2m}\ {\bar \psi}\gamma^\mu\gamma^5\psi \end{equation}$$

Was wir als Pauli-Lubanski-Vektor des Fermionenfeldes betrachten können, wenn wir die Gordon-Zerlegung daran durchführen. Wir bekommen:

$$\begin{equation} \begin{array}{|c|c|} \hline & \\ & \mbox{Pauli Lubanski vector} \\ \hline & \\ \mbox{Poincaré:} & W^\mu=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,J_{\alpha\beta}\,P_\nu \\ \\ \\ \mbox{e.m. field:} & C^\mu\,=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,F_{\alpha\beta}\,A_\nu \\ \\ \\ \psi-\mbox{field:} & j_\circlearrowleft^\mu~=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,M_{\alpha\beta}\,j_\nu \\ \\ \hline \end{array} \end{equation}$$

Wo$M^{\mu\nu}$ist der Magnetisierungstensor des Elektronenfeldes definiert durch.

$$\begin{equation} M^{\mu\nu} ~=~ \left(\frac{\mu_e}{2mc}\right)~\mbox{ $\bar{\psi}\sigma^{\mu\nu}\psi$} ~=~ \left( \begin{array}{cccc} 0 & ~~P_x & ~~P_y & ~~P_z \\ -P_x & 0 & - M_z & ~~M_y \\ -P_y & ~~M_z & 0 & - M_x \\ -P_z & - M_y & ~~M_x & 0 \end{array} \right) \end{equation}$$

und das$j_\nu$ist durch die Phasenänderungsraten gegeben$\partial^\nu\phi$des Feldes$\psi$.

In http://physics-quest.org/Book_Chapter_EM2_ChernSimonsSpin.pdf rechne ich$C^\mu$für einige elementare Fälle und zeigen, dass es die Werte hat, die wir von ihm erwarten können.

Hans

Ich habe vor ein paar Jahren über dieselbe Frage nachgedacht, als ich den Artikel von De Vries online gelesen habe. Ich vermute nur, aber ich denke, es beträgt im Grunde (für ein einzelnes Elektron zB):

1. Umwandeln des Spinors in ein äquivalentes Vektorfeld durch Kombinieren mit der Ladungsdichte; Und,

2. Betrachten des resultierenden Vektorfeldes als Kräuselung einer Stromdichte.

Mit anderen Worten, durch die Kombination der beiden Spinorkomponenten der Wellenfunktion erhält man an jedem Punkt im Raum eine Spindichte, die eigentlich die Qualität eines Vektorfeldes hat, weil man neben der Richtung (mehr bekommt man bei einem Spinor nicht ) haben Sie eine Größe, die sich aus der lokalen Ladungsdichte ergibt. Wenn Sie das Anti-Curl dieses Vektorfelds nehmen, erhalten Sie eine Stromdichte.

Diese resultierende Stromdichte nennt De Vries Chern-Simon. Ich finde.