Analog der Spin-VS-Helizität für interne Symmetrien

Dies könnte eher eine weiche Frage sein, da ich diese massiven Spin-Partikel nicht kenne J haben 2 J + 1 Freiheitsgrade, wohingegen masselose Teilchen nur einen Freiheitsgrad haben, die Helizität. Aus diesem Grund hat ein Photon, das wir oft als masseloses Spin-1-Teilchen bezeichnen, zwei Polarisationen und sein "Spin" (eigentlich Helizität) kann nur zwei Werte annehmen.

Das Argument folgt aus zwei Casmir-Operatoren für die Lorentz-Gruppe, P μ P μ , W μ W μ , mit W μ B. der Pauli-Lubanski-4-Vektor, die pendeln. Danach machen wir die Unterscheidung zwischen P μ P μ = M = 0 Und M ≠ 0 . Also dann M = 0 reduziert die Freiheitsgrade des Feldes, das sich unter der Lorentz-Gruppe transformiert. Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege.

Dies mag etwas allgemein gehalten sein, aber kann es im Fall einer internen Symmetrie (wie einer Eichsymmetrie) eine analoge Einschränkung der Freiheitsgrade geben? Wenn ja, gibt es Beispiele für Modelle, die das tun?

Als Beispiel denke ich an eine Theorie mit interner Symmetrie unter einer Gruppe G , mit seinen Kasimiren, C 1 , C 2 , . . C N , mit einer C J (analog zu P μ P μ für die Lorentz-Gruppe) so dass C J = 0 (mit C J nicht trivial).

Antworten (1)

Woran Sie wirklich denken sollten, ist eine Gruppe und Repräsentationen.

Im massiven Fall ist die kleine Gruppe S U ( 2 ) deren Darstellungen durch eine halbe ganze Zahl gekennzeichnet sind J und Dimension hat 2 J + 1 .

Im masselosen Fall ist die kleine Gruppe os U ( 1 ) deren Darstellungen durch eine halbe ganze Zahl gekennzeichnet sind H und Dimension haben 1 . Wir möchten jedoch, dass unser Hilbert-Raum CPT-invariant ist, also für jede Helizität H Darstellung schließen wir auch eine Helizität ein − H Darstellung mit 2 DO für jeden | H | .

Es gibt nirgendwo eine „Einschränkung“ irgendeines Sinns. Die beiden Arten von Partikeln werden von zwei völlig unterschiedlichen Gruppen beschrieben, sodass ihre Strukturen unterschiedlich sind.

Auch interne Symmetriegruppen können solche Eigenschaften haben. Es ist definitiv möglich. Zum Beispiel S L ( 2 , R ) hat die üblichen Darstellungen mit dem höchsten Gewicht (die reelle und diskrete Skalierungsdimensionen haben), aber sie haben auch eine kontinuierliche Reihendarstellung (die komplexe und kontinuierliche Skalierungsdimensionen hat), die in ihrer Struktur völlig unterschiedlich sind.

Wir sehen solche Dinge im Allgemeinen nicht in QFT, da interne Symmetriegruppen normalerweise kompakt sind (Die Poincare-Gruppe und S L ( 2 , R ) sind nicht!)

Oh, ich wusste nichts über das Konzept einer kleinen Gruppe. Wenn man also dieses Argument für Eichsymmetrien verallgemeinert, dreht sich alles wieder um die kleine Gruppe, was bedeutet, dass je nachdem, welche kleine Gruppe der Eichgruppe ist (was meiner Meinung nach vom Wert des oben genannten Casimir abhängt, der das Analogon von ist P μ P μ , kann es unterschiedliche Ergebnisse geben?
Kleine Gruppen sind einfach eine Methode, Repräsentationen zu konstruieren. Am Ende zählt nur die Gruppenvertretung. Ich habe Ihnen gerade gesagt, dass das, was Sie unter "Einschränkungen" verstehen, das überhaupt nicht ist - es sind einfach zwei völlig unterschiedliche Arten von Darstellungen der Poincar\'e-Gruppe.
Ja, danke für die Aufklärung der Verwirrung. Um auf das zurückzukommen, was ich gefragt habe (abgesehen von dem Fehler "Einschränkung"), sehe ich keinen Grund, warum dies bei internen Gruppensymmetrien nicht der Fall sein sollte, oder?
Ich glaube, ich verstehe wirklich nicht, worauf Sie hier hinaus wollen. Es ist definitiv möglich, dass einige Darstellungen einige verschwindende Kasimire haben.
Ich denke, was ich sagen will, ist, dass, da die Masse (die der Wert eines Casimirs der Lorentz-Gruppe ist) zu zwei verschiedenen Arten von Teilchen führen kann (abgesehen von ihren Unterschieden in ihrer Masse unterscheidet sich ihr Spin / ihre Helizität), I sehen Sie nicht, wie etwas Ähnliches nicht passieren kann, wenn wir eher eine interne Gruppensymmetrie als eine Lorentz-Symmetrie betrachten (wobei ein Casimir, der mit dieser Eichgruppe verwandt ist, Werte hat, die uns eine völlig andere Struktur für ihre entsprechenden Partikel geben könnten).
Es ist definitiv möglich. Zum Beispiel S L ( 2 , R ) hat die üblichen Darstellungen mit dem höchsten Gewicht, aber sie haben auch eine fortlaufende Reihendarstellung, die völlig anders aufgebaut sind. Wir sehen solche Dinge im Allgemeinen nicht in QFT, da interne Symmetriegruppen normalerweise kompakt sind (Die Poincare-Gruppe und S L ( 2 , R ) sind nicht!)
Ah, vielen Dank! Wenn Sie dies in Ihre Hauptantwort aufnehmen könnten, werde ich es akzeptieren :) Nochmals vielen Dank, dass Sie so hilfsbereit und aufmerksam sind.
Ich habe es der Antwort hinzugefügt.
Analog der Spin-VS-Helizität für interne Symmetrien
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