Zweifel an Wigners Einstufung

Ich möchte Sie auf Weinberg QFT1 verweisen, falls Sie es noch nicht gelesen haben. Nachfolgend mein Versuch, Ihre Frage in dem dort angesprochenen Formalismus zu beantworten.

Sie klassifizieren Teilchen nach Darstellungen der Poincaré-Gruppe. Ein Ein-Teilchen-Zustand muss unter ein Element dieser Gruppe transformiert werden. Ein Teil dieser Transformation ändert nur den Impuls, der andere Teil macht eine teilchenspezifische 'intrinsische' Transformation des Zustands (dh dreht die Spinor-Indizes). Spin und Helizität charakterisieren den letzteren Teil und sind in diesem Sinne ziemlich ähnlich.

Zufällig lässt sich diese intrinsische Transformation im Sinne der sogenannten kleinen Gruppe verstehen. Für jeden Schwung$p_\mu$Sie können zu einem Standard-Referenzrahmen gehen, in dem wir ein Standard-Impuls haben$k_\mu$die in der gleichen Umlaufbahn der Lorentz-Gruppe liegt wie$p$. Zum Beispiel (ich verwende die metrische Signatur$+---$), für massive Partikel, wo Sie haben$p^2=M^2$, können Sie den Ruherahmen und den Standard auswählen$k_\mu=(M,0,0,0)$. Für$p^2=0$Sie können zu einem Referenzrahmen gehen, in dem das Momentum wird$k^\mu=(\kappa,0,0,\kappa)$.

Nun ist die kleine Gruppe die Untergruppe der Lorentz-Gruppe, die Ihren Standard verlässt$k$unveränderlich. Es kommt vor (und zum Beweis dafür ist es besser, Weinberg, Wigner usw. zu lesen), dass es für jede Lorentz-Transformation ein entsprechendes Element der kleinen Gruppe gibt, das die "intrinsische" Transformation bestimmt.

Lassen Sie uns zuerst über den massiven Fall sprechen. Wir haben$k^\mu=(M,0,0,0)$, und die kleine Gruppe ist eindeutig nur die Drehungen$SO(3)$. Irreduzible Darstellungen dieser Gruppe sind bekannt und werden durch Spin parametrisiert$s$was eine ganze oder eine halbe ganze Zahl sein kann. (Formal sind letztere projektive Darstellungen, aber in der QM spielt eine Phase keine Rolle.) Wir können auch eine Achse auswählen und uns den Rotationsgenerator ansehen$J_3$, und seinen Eigenwerten, dies ist die 'Spin-Projektion'. Soweit uns andere Drehungen zur Verfügung stehen, können wir das Teilchen drehen, um diese Projektion zu verändern. Dies ist der intuitive Grund, warum wir alle Spinprojektionen dazwischen haben$-s$Und$s$(mit ganzzahligen Schritten).

Was ist nun anders bei masselosen Teilchen? Der Standardimpuls ist$k^\mu=(\kappa,0,0,\kappa)$das ist, sagen wir, ein mitreisendes Photon$z$Richtung. Jetzt haben wir noch unsere$J_3$Drehung, aber es gibt ein Problem mit$J_1$Und$J_2$-- sie werden unseren Vektor verändern. Es ist jedoch möglich, die Situation zu retten, indem man diesen Generatoren einige Boosts hinzufügt. Diese Tatsache ändert in diesem Fall die Gruppe, und sie wird isomorph zu$ISO(2)$-- die Isometriengruppe der 2D-Euklidischen Ebene. Praktisch gesehen haben wir drei Generatoren in der kleinen Gruppe --$A,B,J_3$, Wo$A,B$ist das, was übrig bleibt$J_1$Und$J_2$und entsprechen Übersetzungen dieser Ebene, während$J_3$ist die Drehung entlang der Impulsrichtung und entspricht Drehungen in der Ebene. Natürlich ist dieses ebene Bild nur eine mathematische Abstraktion.

Das ist mehr oder weniger offensichtlich$A,B$entsprechen einem 2D-Impuls, und wenn sie also einen Eigenwert ungleich Null haben, haben sie ein kontinuierliches Spektrum (drehen Sie es einfach mit$J_3$). Wir beobachten keine intrinsischen kontinuierlichen Freiheitsgrade für masselose Teilchen, also schließen wir das$A,B$Null-Eigenwerte in den interessierenden Darstellungen haben. Wir müssen jetzt nur noch darüber nachdenken$J_3$Eigenwert, der die Projektion des Spins auf die Impulsrichtung ist. Hier sage ich „Spin-Projektion“, weil sie die Transformation der Wellenfunktion unter Rotation um eine Achse bestimmt. Dieser Eigenwert wird jedoch eigentlich als Helizität bezeichnet. Vorerst keine Wertbeschränkungen.

Sie können sehen, dass im masselosen Fall die relevante irreduzible Darstellung der Lorentz- Algebra tatsächlich eindimensional ist (nur ein Zustand mit$A\psi=B\psi=0$,$J_3\psi=\lambda\psi$) und wird durch einen Parameter parametrisiert$\lambda$. Nun ist es die Topologie der Lorentz- Gruppe , die es erfordert$\lambda$ganzzahlig oder halbzahlig sein (im massiven Fall erwächst diese Forderung schon aus der Algebra). Trotzdem keine Vorgaben wie „sollte es auch mindestens geben$-\lambda$" usw.

Der physikalische Grund dafür ist, dass wir im massiven Fall, wenn wir die „Helizität“ – die Projektion des Spins in die Impulsrichtung – kennen würden, zum Ruhesystem gehen könnten, den Spin nach Belieben drehen und zurückgehen könnten, wodurch die Projektion geändert würde . Im masselosen Fall gibt es kein Ruhesystem – wenn wir versuchen, den „Spin“ zu drehen, dreht sich auch der Impuls. Die Helizität ist Lorentz-invariant.

Warum haben wir, wie Sie sagen, '$\pm s_{max}$Im masselosen Fall liegt es daran, dass die räumliche Inversion das Vorzeichen der Helizität ändert. Also, für Partikel, die 'Respekt$P$-Inversion' haben wir auch Teilchen mit entgegengesetztem Helizitätsvorzeichen und nennen sie gleich. Für Neutrinos (angenommen, sie sind masselos) haben wir jedoch kein so schönes Ding, also gibt es Neutrinos und Antineutrinos mit unterschiedlichen Helizitäten.

Wenn also ein Wunder passiert ist und ich es auf korrekte und verständliche Weise erklärt habe, sollte dies meiner Meinung nach die Punkte 1,2,3 verdeutlichen.

4. Ist es dasselbe wie sollten wir Spin-up-Elektron und Spin-down-Elektron das gleiche Teilchen nennen? Wenn Sie glauben, dass Rotationen Symmetrien unserer Welt sind – ja. Nun, Helizität? Wenn Sie glauben, dass die räumliche Inversion ($P$) ist eine Symmetrie – ja. Nun, wir wissen, dass es verletzt wird, aber wenn wir QED allein nehmen, ist es eine Symmetrie, also ist es vernünftig, es so zu nennen. Auch der mathematische Formalismus ($A_\mu$-Feld) legt dies sehr nahe.

5. Gehen Sie zum Ruhebild. (Das Quadrat ist ein Casimir, also pendelt es mit Boosts) Dann ist dies bis auf einen Koeffizienten$m^2\vec{J}^2$. Wo$J_i$ist der Rotationsgenerator.

1. Ich würde sagen, dass Sie eine Kontinuität erwarten, die nicht hier ist.

@1. Wie für die$m \rightarrow 0$Grenze. Ich glaube nicht, dass Sie dadurch ein masseloses Teilchen erhalten. Für alle positiv$m \gt 0$, wie klein es auch sein mag, es unterscheidet sich grundlegend von einem masselosen Teilchen – da Sie in sein Ruhesystem steigen können und die Anzahl der Zustände die gleiche ist wie bei jedem massiven Teilchen. Im Kalkülbegriff einer Grenze gibt es kein "$m_\epsilon$"-Ball, in dem es als masseloses Teilchen angenähert werden kann. Die Grenze gibt Ihnen also keine masselosen Teilchen.