Wird der dritte Spinvektor eines Photons immer unterdrückt?

Die Polarisationsrichtungen der Photonen sind nur dann transversal, wenn sie frei im Raum sind. Die Polarisation eines wechselwirkenden Photons oder eines Photons mit unfreien Randbedingungen ist im Allgemeinen nicht transversal. Ein Beispiel ist, dass elektromagnetische Wellen in Wellenleitern longitudinale Polarisationen besitzen.

Ein weiteres relativ einfaches Beispiel, bei dem (eine bestimmte Kombination aus) der transversalen und der skalaren Polarisation physikalisch wird, wenn das Photon ein Vermittler einer Coulomb-Wechselwirkung ist. Dies kann wie folgt eingesehen werden:

Der kovariante (off-shell) Photonenpropagator ohne Eichfixierung hat die Form:

$$D^{\mu\nu}(k) = \frac{1}{k^2}\epsilon^{\mu}_{\lambda}(\mathbf{k}) \epsilon^{\nu\lambda}(\mathbf{k}) = \frac{g^{\mu\nu}}{k^2}$$

Wo die Minkowski-Summierungskonvention angenommen wird:

$$a.b = a^{\lambda} b_{\lambda} = - a^0b^0+a^1b^1+a^2b^2 + a^3b^3$$

Die vier Polarisationsvektoren können orthonormal gewählt werden:

$$\epsilon_{\mu}^{\lambda}(\mathbf{k}) \epsilon_{\nu\lambda}(\mathbf{k}) = g^{\mu\nu}$$

Daher sollten drei davon raumartig und einer davon zeitartig sein.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können sie gewählt werden als:

Die transversalen Polarisationsvektoren

$$\epsilon_r^{\mu}= [0, \mathbf{\epsilon}_r], \ \ r=1,2$$

Die sind orthogonal zum Impuls definiert

$$\mathbf{\epsilon}_r . \mathbf{k} = 0$$

Der skalare Polarisationsvektor

$$\epsilon_0^{\mu} \equiv n^{\mu} = [1, 0, 0, 0]$$

Der Längspolarisationsvektor:

$$\epsilon_3^{\mu} = [0,\frac{\mathbf{k}}{k}]$$

Der Längspolarisationsvektor kann kovariant geschrieben werden als:

$$\epsilon_3^{\mu} = \frac{k^{\mu} - (k.n) n^{\mu}}{[ (k.n) ^2- k^2]^{\frac{1}{2}}}$$

Durch Einsetzen in den Propagator erhalten wir

$$D^{\mu\nu}(k) = \frac{1}{k^2}\big [\sum_{r=1,2} \epsilon^{\mu}_{r}(\mathbf{k}) \epsilon^{\nu}_{r}(\mathbf{k}) + \frac{[k^{\mu} - (k.n) n^{\mu}][k^{\nu} - (k.n) n^{\nu}]}{[ (k.n) ^2-k^2]} + n^{\mu}n^{\nu} \big ]$$

Der Propagator kann angeordnet werden als:

$$D^{\mu\nu}(k) = D_{\mathrm{trans}}^{\mu\nu} + D_{\mathrm{Coulomb}}^{\mu\nu} + D_{\mathrm{resid}}^{\mu\nu}$$

Mit

$$D_{\mathrm{trans}}^{\mu\nu}(k) = \frac{1}{k^2}\sum_{r=1,2} \epsilon^{\mu}_{r}(\mathbf{k}) \epsilon^{\nu}_{r}(\mathbf{k})$$

$$D_{\mathrm{Coulomb}}^{\mu\nu}(k) = \frac{n^{\mu}n^{\nu}}{[ (k.n)^2-k^2]}$$

$$D_{\mathrm{resid}}^{\mu\nu}(k) = \frac{k^{\mu} k^{\nu} - (k^{\mu} n^{\nu} + k^{\nu} n^{\mu})(k.n)}{k^2[ (k.n) ^2-k^2]}$$

Die Coulomb- und die Restanteile sind Kombinationen aus dem Skalar- und dem Längsanteil des Propagators.

Der Restanteil ergibt immer eine verschwindende Größe, wenn er zwischen zwei konservierten Strömen ($k^{\mu}J_{\mu} = 0$):

$$D_{\mathrm{resid}}^{\mu\nu} J^{(1)}_{\mu}J^{(2)}_{\nu} = 0$$

Daher trägt es nicht zu physikalischen Observablen bei. Der Coulomb-Teil ist nur die Fourier-Transformation des momentanen Coulomb-Potentials:

$$D_{\mathrm{Coulomb}}^{\mu\nu}(x-y) = \delta^{\mu0} \delta^{\nu0}\frac{\delta(x_0-y_0)}{4 \pi| \mathbf{x}-\mathbf{y}|}$$

Freie Photonen können also niemals zu einer Coulomb-Wechselwirkung führen.