Was ist die masselose Grenze des massiven Elektromagnetismus?

Es gibt einen einfachen Weg, die massive Elektrodynamik Lagrange und Limit zu verstehen, nämlich den Stueckelberg (Affine Higgs) Mechanismus. Dies entspricht mathematisch der Antwort von DJBunk, ist jedoch physisch etwas intuitiver.

Betrachten Sie ein abelsches Higgs-Modell mit einem masselosen elektrodynamischen Vektorpotential$A$und ein Skalarfeld mit a$\phi^4$Potenzial

Betrachten Sie dann die Grenze, an der die Ladung e anliegt$\phi$gegen Null geht, während die Masse des Higgs gegen unendlich geht ($a\rightarrow\infty$), so dass das Produkt$ea$bleibt konstant. In dieser Grenze können Sie den komplexen Skalar schreiben als:

Und die R-Anregungen haben eine Masse, die als a geht und ins Unendliche geht, während die$\theta$Anregungen werden vom A-Feld gefressen und ergeben zusammen ein Eichboson der Masse ea. Dies ist das massive elektrodynamische Modell, und diese Grenze zeigt, warum es renormierbar ist – Sie können in einer U(1)-Eichtheorie e auf Null setzen, weil es keine Ladungsquantisierung gibt.

In diesem Modell ist es offensichtlich, wo die masselose Grenze des massiven Elektromagnetismus liegt: Dies ist die Grenze dessen$e=0$für das Higgs-Feld. In diesem Fall ist das Higgs vom Eichfeld entkoppelt und Sie haben nur ein masseloses Eichfeld. Der Längsfreiheitsgrad entkoppelt nur. Dies ist der deutlichste Weg, um zu sehen, warum es meiner Meinung nach so sein muss.

Bei kleiner Masse ist der longitudinale Freiheitsgrad, der in diesem Modell vom unendlich schweren Higgs herrührt, nahezu entkoppelt, so dass die Grenze glatt ist. Die Theorie kann analysiert werden, indem man mit dem masselosen Elektromagnetismus beginnt und das Higgs-Feld als Störung hinzufügt (solange man im effektiven Potentialformalismus arbeitet).

Beginnend mit dem Lagrange für eine massive$U(1)$Vektorboson$A_\mu$was, wie Sie sagten, 3 DOF hat:

jetzt, wenn wir Variablen zu ändern$A_\mu\rightarrow A_\mu - \partial_\mu \theta$und wir haben (Beachten Sie, dass$F^{\mu \nu}$und daher$F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}$ist unter dieser Transformation invariant.):

und neu skalieren$\theta \rightarrow \frac{1}{m}\theta$

Der entscheidende Punkt ist nun, dass die Lagrange-Funktion eine Eichredundanz hat ($A_\mu \rightarrow A_\mu +\frac{1}{m} \partial_\mu \psi$,$\theta \rightarrow \theta + \psi$), was den DOF von verringert$A_\mu$um 1 bis zu 2 DOF. Sie könnten einwenden, dass der Massenbegriff immer noch da ist - aber es gibt einen Mischbegriff dazwischen$A_\mu$Und$\theta$Es ist also nicht richtig, diese als unabhängig propagierende DOF zu betrachten.

Schließlich ist bei sehr hohen Energien jeder Operator mit einer positiven Massendimension irrelevant, also hätten wir es getan

Und$A_\mu$hat nur 2 DOF und es gibt einen weiteren (freien) DOF, der entkoppelt ist. Die hohe Energiegrenze ist die masselose Grenze, da wir eine Skala benötigen, um die Masse zu vergleichen.

Was klassische Verse Quanten betrifft, so war meine Analyse im Wesentlichen klassisch, aber sie gilt für den Quantenfall mit der Einschränkung, dass wir Eichfestlegungsterme für die von mir eingeführte Eichredundanz hinzufügen müssen.

Sie fragen sich vielleicht, was bei niedriger Energie passiert - nun, dann hätten wir wirklich bei der ursprünglichen Lagrange-Funktion bleiben sollen, mit der wir begonnen haben, da dies gut funktioniert, wenn der Massenterm relevant ist und wir nur ein Vektorfeld mit 3 DOF hätten.

Was Ihre Frage betrifft, was dabei mit dem Elektron passiert, die Kopplung an das ursprüngliche Eichfeld wird die Form haben

die unter der Änderung von Variablen$A_\mu\rightarrow A_\mu - \partial_\mu \theta$geht zu

bei partieller Integration ist der letzte Term

Und$\partial_\mu J^\mu=0$für einen erhaltenen Strom, der logisch notwendig ist, wenn wir ein masseloses Eichfeld daran koppeln wollen.

Beachten Sie, dass dies in krassem Gegensatz zu einer nichtabelschen Eichtheorie mit Massentermen steht, da die Möchtegern-Goldstone-Bosonen ein nicht-lineares Sigma-Modell bilden, das nicht renormierbar ist. Siehe Welche Beweise gibt es für den elektroschwachen Higgs-Mechanismus?

Als letztes Wort denke ich, dass Rons Antwort prägnanter ist und Ihre ursprüngliche Frage viel besser beantwortet. Ich würde meine Antwort löschen, aber es scheint, als ob einige Leute sie nützlich fanden, also lasse ich sie.

QED ist die masselose Grenze der massiven QED. Die transversalen Moden werden immer mehr unterdrückt, je kleiner die Masse wird. Dies ist bereits in der nicht interagierenden Version zu sehen, wo$e=0$, so dass das Photonenfeld entkoppelt.