Was passiert, wenn das Photon eine Masse ungleich Null hat?

Question

Was passiert, wenn das Photon eine Masse ungleich Null hat?

Physnolimits

Ich möchte die theoretische Implikation wissen, wenn Photonen eine Masse ungleich Null haben.

Was passiert mit den Maxwell-Gleichungen?
Was passiert mit QFT?
Wenn das Photon Masse hat, kann es dekadieren?

Horus

Zum einen würde die Relativität bedeutungslos.

swzd

Nun, der Proca-Lagrangian wäre nicht länger eicheninvariant – das wird dem Standardmodell, wie wir es kennen, viele Probleme bereiten.

Neugierig

@Horus: Die Relativitätstheorie wäre mit massiven Teilchen in Ordnung. Es braucht keine tatsächliche Implementierung eines masselosen Feldes, das die äußeren Grenzen von Lorentz-Transformationen verfolgt.

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/4700/2451 , physical.stackexchange.com/q/31994/2451 und Links darin.

Shiva

Das Photon kann aufgrund einiger verschiedener Mechanismen eine effektive Masse erlangen, die jeweils die folgenden Effekte hervorrufen: 1. en.wikipedia.org/wiki/Meissner_effect 2. en.wikipedia.org/wiki/Debye_length

Physnolimits

Aber das sind Effekte, die ich allgemein meine...

Graf Iblis

arxiv.org/abs/hep-ph/0306245

Antworten (4)

Was passiert, wenn das Photon eine Masse ungleich Null hat?

Nun, der Proca-Lagrangian wäre nicht länger eicheninvariant – das wird dem Standardmodell, wie wir es kennen, viele Probleme bereiten.
@Horus: Die Relativitätstheorie wäre mit massiven Teilchen in Ordnung. Es braucht keine tatsächliche Implementierung eines masselosen Feldes, das die äußeren Grenzen von Lorentz-Transformationen verfolgt.
Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/4700/2451 , physical.stackexchange.com/q/31994/2451 und Links darin.
Das Photon kann aufgrund einiger verschiedener Mechanismen eine effektive Masse erlangen, die jeweils die folgenden Effekte hervorrufen: 1. en.wikipedia.org/wiki/Meissner_effect 2. en.wikipedia.org/wiki/Debye_length

Murod Abdukhakimov · Answer 1

Ich denke, dass der interessanteste Teil dieser Frage folgender ist:

Was passiert mit den Maxwell-Gleichungen?

Die Lichtgeschwindigkeit $c$ ist eine fundamentale Konstante, die sowohl in Maxwell-Gleichungen als auch in der speziellen Relativitätstheorie verwendet wird.

Maxwell-Gleichungen lassen elektromagnetische Wellen zu, die sich mit der Geschwindigkeit ausbreiten $c$ . Die klassische spezielle Relativitätstheorie (SR) erlaubt es Teilchen mit einer Masse ungleich Null nicht, sich mit dieser Geschwindigkeit fortzubewegen $c$ . Daraus schließen wir, dass Photonen in der klassischen Physik masselos sein sollten.

In der Quantenphysik ist die Situation jedoch anders. Massive Partikel dürfen sich mit einer Geschwindigkeit bewegen, die sogar darüber hinausgeht $c$ . Siehe z. B. Zitat aus dem Nobelvortrag von Frank Wilczek:

„Stellen Sie sich ein Teilchen vor, das sich im Durchschnitt fast mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, aber mit einer Unsicherheit in der Position, wie es die Quantentheorie erfordert. Offensichtlich besteht eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass sich dieses Teilchen etwas schneller als der Durchschnitt und daher schneller bewegt als Licht, was die spezielle Relativitätstheorie nicht zulässt. Der einzige bekannte Weg, diese Spannung aufzulösen, besteht darin, die Idee der Antiteilchen einzuführen.“

Daher sind wir in der Quantentheorie nicht durch die Forderung der SR eingeschränkt, dass nur masselose Teilchen sich mit dieser Geschwindigkeit fortbewegen können $c$ .

Lassen die Maxwell-Gleichungen massive Quellen zu, die sich mit der Geschwindigkeit bewegen? $c$ ?

Maxwell-Gleichungen enthalten keine Massenterme . Insbesondere bei elektromagnetischen Wellen im Vakuum, die als "quellenfrei" gelten.

Wenn wir davon ausgehen, dass Photonen eine Masse ungleich Null haben, dann zusätzlich zu elektromagnetischen Feldern $\textbf{E}$ , $\textbf{B}$ Wir benötigen auch Materiefelder für das Quellteilchen. Eine der Optionen ist die Annahme, dass diese Materiefelder spinoral sind:

ψ (X) = {ξ, \dot{η}} = {ξ, 0} + {0, \dot{η}} = (\begin{array}{cc} ξ^{1} (X) \\ ξ^{2} (X) \\ η_{\dot{1}} (X) \\ η_{\dot{2}} (X) \end{array})

$\begin{equation} \psi{}(x)=\left\{\xi{},\ \dot{\eta{}}\right\}=\ \left\{\xi{},\ 0\right\}+\left\{0,\ \dot{\eta{}}\right\}=\ \left({\begin{array}{ cc} {\xi{}}^1(x) \\ {\xi{}}^2(x)\\ {\eta{}}_{\dot{1}}(x) \\ {\eta{}}_{\dot{2}}(x) \end{array}}\right) \end{equation}$

Zusätzlich zu den Maxwell-Gleichungen müssen wir auch einige neue Materiefeldgleichungen einführen , die für die Kinematik von Photonen "verantwortlich" sein werden.

Die Rolle dieser Materiefeldgleichungen ist ähnlich der Rolle der Dirac-Gleichungen im Fall der Elektronenbewegung.

\begin{array}{cl} \partial^{μ \dot{v}} η_{\dot{v}} + ich M ξ^{μ} = 0 \\ \partial_{μ \dot{v}} ξ^{μ} + ich M η_{\dot{v}} = 0 \\ (F R e e D ich R A C e Q u A T ich Ö N F Ö R e l e C T R Ö N) \end{array}

$\begin{equation} \begin{array}{columns} {\partial{}}^{\mu{}\dot{\nu{}}} {\eta{}}_{\dot{\nu{}}}\ +\ im \ {\xi{}}^{\mu{}}=\ 0 \\ \\ {\partial{}}_{\mu{}\dot{\nu{}}} {\xi{}}^{\mu{}}+\ im \ {\eta{}}_{\dot{\nu{}}}=0 \\ \\ (Free \ Dirac \ equation \ for \ electron) \end{array} \end{equation}$

Im Folgenden werde ich zeigen, dass es eine Lorentz-invariante Spinoralgleichung gibt, die:

macht elektromagnetische Wellen "massiv",
kann nicht nur mit Maxwell-Gleichungen in Einklang gebracht werden , sondern ihnen äquivalent sein ,
bei transversalen ebenen elektromagnetischen Wellen sind nur masselose Lösungen möglich, die sich mit der Geschwindigkeit fortbewegen $c$ (Photonen),
im Fall von longitudinalen ebenen Wellen ermöglicht massive Lösungen, die mit der Geschwindigkeit reisen $c$ und Erfüllung der Majorana-Bedingung (Neutrino).

Ich verwende hier den von B. van der Waerden, GE Uhlenbeck und O. Laporte entwickelten Spinorkalkül (detaillierte Notationen und alle Berechnungen finden Sie hier ). Dies liegt daran, dass viele Spinoralgleichungen viel einfacher sind als die entsprechenden Tensorgleichungen. Wie man aus den Ausdrücken oben und unten sehen kann, gilt dies gleichermaßen für Maxwell- und Dirac-Gleichungen.

Maxwell-Gleichungen in Spinoralform

In der Tensoralgebra werden elektromagnetische Feldstärken in Form von antisymmetrischen elektromagnetischen Feldtensoren zweiter Ordnung ausgedrückt $F_{\mu \nu}$ .

In ähnlicher Weise werden im Spinorkalkül elektromagnetische Feldstärken in Form von zwei komplex konjugierten symmetrischen Spinoren zweiten Ranges ausgedrückt $f_{\mu{}\nu{}}$ Und $\dot{f}_{\dot{\mu{}}\dot{\nu{}}}$ :

F_{μ v} = F_{v μ}

$\begin{equation} f_{\mu{}\nu{}}=\ f_{\nu{}\mu{}} \end{equation}$

{\dot{F}}_{\dot{v}}^{\dot{μ}} = \bar{F_{v}^{μ}}

$\begin{equation} {\dot{f}}_{\dot{\nu{}}}^{\dot{\mu{}}}=\overline{f_{\nu{}}^{\mu{}}} \end{equation}$

Aufgrund der Symmetrie der Spinoren hat das Feld nur 3 komplexe Komponenten:

F_{11}, F_{12} = F_{21}, F_{22}

$\begin{equation} f_{11}, \hspace{10mm} f_{12}=\ f_{21}, \hspace{10mm} f_{22} \end{equation}$

Diese Eigenschaft ermöglicht es uns, die Struktur des dreidimensionalen komplexen Raums für elektromagnetische Feldspinoren einzuführen

F_{v}^{μ} = [\begin{array}{cc} F_{1}^{1} & F_{2}^{1} \\ F_{1}^{2} & F_{2}^{2} \end{array}] = [\begin{array}{cc} F^{3} & F^{1} - ich F^{2} \\ F^{1} + ich F^{2} & - F^{3} \end{array}] = F^{k} σ_{k}, k = 1, 2, 3

$\begin{equation} f_{\nu{}}^{\mu{}}=\ \left[\begin{array}{ cc} f_1^1 & f_2^1 \\ f_1^2 & f_2^2 \end{array}\right]=\ \left[\begin{array}{ cc} F^3 & F^1-iF^2 \\ F^1+iF^2 & -F^3 \end{array}\right]=F^k{\sigma{}}_k,\hspace{10mm} k=1,2,3 \end{equation}$

wo "Koordinaten" $F^k$ lässt sich in Real- und Imaginärteil zerlegen

F = E - ich B

$\begin{equation} \textbf{F}=\textbf{E}-i\textbf{B} \end{equation}$

Maxwell-Gleichungen in Spinorform sind sehr einfach und elegant:

\begin{array}{cl} \partial^{v \dot{ρ}} F_{v}^{μ} = S^{μ \dot{ρ}} \\ (M A X w e l l e Q u A T ich Ö N S ich N S P ich N Ö R ich A l F R Ö M) \end{array}

$\begin{equation} \begin{array}{columns} {\partial{}}^{\nu{}\dot{\rho{}}}f_{\nu{}}^{\mu{}}=\ S^{\mu{}\dot{\rho{}}} \\ \\ (Maxwell \ equations \ in \ spinorial \ from) \end{array} \end{equation}$

Hier verwenden wir die Spinoralform der elektromagnetischen Stromdichte $S^{\mu{}\dot{\rho{}}}$ :

S_{μ \dot{v}} = [\begin{array}{cc} S_{1 \dot{1}} & S_{1 \dot{2}} \\ S_{2 \dot{1}} & S_{2 \dot{2}} \end{array}] = [\begin{array}{cc} J^{0} + J^{3} & J^{1} + ich J^{2} \\ J^{1} - ich J^{2} & J^{0} - J^{3} \end{array}]

$\begin{equation} S_{\mu{}\dot{\nu{}}}=\left[\begin{array}{ cc} S_{1\dot{1}} & S_{1\dot{2}} \\ S_{2\dot{1}} & S_{2\dot{2}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ cc} J^0+J^3 & J^1+iJ^2 \\ J^1-iJ^2 & J^0-J^3 \end{array}\right] \\ \end{equation}$

Komplexer Vektor $J^k$ entspricht Spinor $S^{\mu{}\dot{\rho{}}}$ kann in elektrische zerlegt werden ( $J_e$ ) und magnetisch ( $J_m$ ) Stromdichten:

J^{k} = {J_{e}}^{k} - ich {J_{M}}^{k} k = 0, 1, 2, 3

$\begin{equation} J^k={J_e}^k-i{J_m}^k \hspace{10mm} k=0, 1, 2, 3 \end{equation}$

Der Spinor der Lorentz-Kraftdichte lautet wie folgt:

Λ_{μ \dot{v}} = - [{\dot{F}}_{\dot{v}}^{\dot{ρ}} S_{μ \dot{ρ}} + F_{μ}^{δ} {\dot{S}}_{δ \dot{v}}]

$\begin{equation} {\Lambda{}}_{\mu{}\dot{\nu{}}}=-\left[{\dot{f}}_{\dot{\nu{}}}^{\dot{\rho{}}} \ S_{\mu{}\dot{\rho{}}}+f_{\mu{}}^{\delta{}} \ {\dot{S}}_{\delta{}\dot{\nu{}}}\right] \end{equation}$

Natürlich der Spinor der Kraftdichte ${\Lambda{}}_{\mu{}\dot{\nu{}}}$ entspricht dem Lorentz-Kraftdichte-4-Vektor $\mathcal{F}^{\mu{}}$ :

Λ_{μ \dot{v}} = [\begin{array}{cc} Λ_{1 \dot{1}} & Λ_{1 \dot{2}} \\ Λ_{2 \dot{1}} & Λ_{2 \dot{2}} \end{array}] = [\begin{array}{cc} F^{0} + F^{3} & F^{1} + ich F^{2} \\ F^{1} - ich F^{2} & F^{0} - F^{3} \end{array}]

$\begin{equation} {\Lambda{}}_{\mu{}\dot{\nu{}}}=\left[\begin{array}{ cc} {\Lambda{}}_{1\dot{1}} & {\Lambda{}}_{1\dot{2}} \\ {\Lambda{}}_{2\dot{1}} & {\Lambda{}}_{2\dot{2}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ cc} \mathcal{F}^0+\mathcal{F}^3 & \mathcal{F}^1+i\mathcal{F}^2 \\ \mathcal{F}^1-i\mathcal{F}^2 & \mathcal{F}^0-\mathcal{F}^3 \end{array}\right] \end{equation}$

Materiefeldgleichungen

Nun müssen wir die Materiefeldgleichungen einführen, die die Massenterme des Quellteilchens enthalten.

Wir beginnen mit der bekannten Pauli-Kopplungsgleichung , die der freien Dirac-Gleichung sehr ähnlich sieht (siehe oben):

\begin{array}{cl} \partial^{μ \dot{v}} η_{\dot{v}} + ich F_{v}^{μ} ξ^{v} = 0 \\ \partial_{μ \dot{v}} ξ^{μ} + ich {\dot{F}}_{\dot{v}}^{\dot{μ}} η_{\dot{μ}} = 0 \\ (P A u l ich C Ö u P l ich N G e Q u A T ich Ö N) \end{array}

$\begin{equation} \begin{array}{cols} {\partial{}}^{\mu{}\dot{\nu{}}}{\eta{}}_{\dot{\nu{}}} + \ if_{\nu{}}^{\mu{}} \ {\xi{}}^{\nu{}} = 0\\ \\ {\partial{}}_{\mu{}\dot{\nu{}}}{\xi{}}^{\mu{}} + \ i{\dot{f}}_{\dot{\nu{}}}^{\dot{\mu{}}} \ {\eta{}}_{\dot{\mu{}}} = 0 \\ \\ (Pauli \ coupling \ equation) \end{array} \end{equation}$

In dieser Gleichung sind die Spinor- und Co-Spinorfelder über elektromagnetische Feldspinoren zweiten Ranges gekoppelt $f_{\mu{}\nu{}}$ Und $\dot{f}_{\dot{\mu{}}\dot{\nu{}}}$ , während in einer freien Dirac-Gleichung die Spinor- und Co-Spinorfelder über eine Massenkonstante gekoppelt sind $m$ .

Die Ähnlichkeit zwischen zwei Gleichungen kann noch verstärkt werden , wenn wir die spinoralen Materiefelder fordern $\xi{}$ Und $\dot{\eta{}}$ sind Eigenvektoren der Spinoren des elektromagnetischen Feldes zweiter Ordnung $f_{\nu{}}^{\mu{}}$ Und ${\dot{f}}_{\dot{\nu{}}}^{\dot{\mu{}}}$ entsprechend:

\begin{array}{ccc} F_{v}^{μ} ξ^{v} = λ ξ^{μ} \\ {\dot{F}}_{\dot{v}}^{\dot{μ}} η_{\dot{μ}} = \bar{λ} η_{\dot{v}} \end{array}

$\begin{equation} \begin{array}{ccc} f_{\nu{}}^{\mu{}} \ {\xi{}}^{\nu{}}=\ \lambda{}\ {\xi{}}^{\mu{}} \\ \\ {\dot{f}}_{\dot{\nu{}}}^{\dot{\mu{}}} \ {\eta{}}_{\dot{\mu{}}}=\bar{\lambda{}}\ {\eta{}}_{\dot{\nu{}}} \end{array} \end{equation}$

Mit dieser Bedingung werden unsere Materiefeldgleichungen sehr einfach

\begin{array}{cl} \partial^{μ \dot{v}} η_{\dot{v}} + ich λ ξ^{μ} = 0 \\ \partial_{μ \dot{v}} ξ^{μ} + ich \bar{λ} η_{\dot{v}} = 0 \end{array}

$\begin{equation} \begin{array}{cols} {\partial{}}^{\mu{}\dot{\nu{}}}{\eta{}}_{\dot{\nu{}}}+\ i\lambda{}\ {\xi{}}^{\mu{}}=0\\ \\ {\partial{}}_{\mu{}\dot{\nu{}}}{\xi{}}^{\mu{}}\ +\ i\bar{\lambda{}}\ {\eta{}}_{\dot{\nu{}}}=0 \end{array} \end{equation}$

und replizieren Sie die Struktur der freien Dirac-Gleichung mit konstantem Massenterm $m$ wird durch die Terme der Variablen "Massendichte" ersetzt $\lambda{}$ Und $\bar{\lambda{}}$ .

Unter Berücksichtigung der expliziten Form elektromagnetischer Feldspinoren $f_{\nu{}}^{\mu{}}$ Und ${\dot{f}}_{\dot{\nu{}}}^{\dot{\mu{}}}$ man sieht die Eigenwerte $\lambda{}$ Und $\bar{\lambda{}}$ sind bekannte elektromagnetische Feldinvarianten:

\begin{array}{ccc} λ_{\pm} = \pm \sqrt{{(F^{1})}^{2} + {(F^{2})}^{2} + {(F^{3})}^{2}} & {λ_{\pm}}^{2} = E^{2} - B^{2} - 2 ich E \cdot B \\ {\bar{λ}}_{\pm} = \pm \sqrt{{(\bar{F^{1}})}^{2} + {(\bar{F^{2}})}^{2} + {(\bar{F^{3}})}^{2}} & {\bar{λ}}_{\pm}^{2} = E^{2} - B^{2} + 2 ich E \cdot B \end{array}

$\begin{equation} \begin{array}{ccc} {\lambda{}}_{\pm{}}=\ \pm{}\sqrt{{\left(F^1\right)}^2+{\left(F^2\right)}^2+{\left(F^3\right)}^2} & & {{\lambda{}}_{\pm{}}}^2=\ E^2-B^2-2i\ \textbf{E}\cdot \textbf{B} \\ \\ {\overline{\lambda{}}}_{\pm{}}=\ \pm{}\sqrt{{\left(\ \bar{F^1}\right)}^2+{\left(\ \bar{F^2}\right)}^2+{\left(\ \bar{F^3}\right)}^2} & & {{\overline{\lambda{}}}_{\pm{}}}^2=\ E^2-B^2+2i\ \textbf{E}\cdot \textbf{B} \end{array} \end{equation}$

Eigenvektoren

Lassen Sie uns nun die Ausdrücke für die Eigenvektoren der elektromagnetischen Feldspinoren ableiten $f_{\nu{}}^{\mu{}}$ Und ${\dot{f}}_{\dot{\nu{}}}^{\dot{\mu{}}}$ .

Betrachten Sie einen beliebigen Punkt $Q$ in der Raumzeit. Der Einfachheit halber können wir den Referenzrahmen (bezeichnet als $M_{\perp{}}$ ) so, dass die Felder $\textbf{E}$ , $\textbf{B}$ am Punkt $Q$ wird orthogonal zur Achse sein $\textbf{e}_3$ .

Es gibt natürlich eine unendliche Anzahl solcher Frames, aber alle nachstehenden Überlegungen gelten für jeden dieser Frames.

Im Bezugsrahmen $M_{\perp{}}$ der Ausdruck für Spinor $f_{\nu{}}^{\mu{}}$ am Punkt $Q$ wird sein:

F_{v}^{μ} = [\begin{array}{cc} 0 & F^{1} - ich F^{2} \\ F^{1} + ich F^{2} & 0 \end{array}]

$\begin{equation} f_{\nu{}}^{\mu{}}=\ \left[\begin{array}{ cc} 0 & F^1-iF^2 \\ F^1+iF^2 & 0 \end{array}\right] \end{equation}$

Weil $F^3=0$ am Punkt $Q$ .

Man kann nun leicht überprüfen, ob zwei Spinoren vorhanden sind ${\xi{}}_+$ Und ${\xi{}}_-$ definiert als

ξ_{\pm} = [\begin{matrix} ξ_{\pm}^{1} \\ ξ_{\pm}^{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \pm \sqrt{F^{1} - ich F^{2}} \\ \sqrt{F^{1} + ich F^{2}} \end{matrix}]

$\begin{equation} {\xi{}}_{\pm{}}=\ \left[\begin{array}{ c} {\xi{}}_{\pm{}}^1 \\ \\ {\xi{}}_{\pm{}}^2 \end{array}\right]=\ \left[ \begin{array}{ c} \pm{}\sqrt{F^1-iF^2} \\ \\ \sqrt{F^1+iF^2} \end{array}\right] \end{equation}$

werden Eigenvektoren der Matrix sein $f_{\nu{}}^{\mu{}}$ am Punkt $Q$ :

F_{v}^{μ} ξ_{\pm}^{v} = λ_{\pm} ξ_{\pm}^{μ}

$\begin{equation} f_{\nu{}}^{\mu{}} \ {\xi{}}_{\pm{}}^{\nu{}}=\ {\lambda{}}_{\pm{}} \ {\xi{}}_{\pm{}}^{\mu{}} \end{equation}$

Mit der speziellen Wahl des Bezugssystems können wir also einen expliziten Ausdruck für die Komponenten des Spinorialfeldes schreiben $\xi{}$ Eigenvektorbedingung erfüllen. Die Ausdrücke für die Feldkomponenten in allen anderen Rahmen können durch die entsprechenden Lorentz-Transformationen erhalten werden.

Ähnlich kann man das am Bezugssystem zeigen $M_{\perp{}}$ zwei Co-Spinner ${\dot{\eta{}}}_+$ Und ${\dot{\eta{}}}_-$ definiert als

{\dot{η}}_{\pm} = [\begin{matrix} {η_{\pm}}_{\dot{1}} \\ {η_{\pm}}_{\dot{2}} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \pm \sqrt{\bar{F^{1}} - ich \bar{F^{2}}} \\ \sqrt{\bar{F^{1}} + ich \bar{F^{2}}} \end{matrix}]

$\begin{equation} {\dot{\eta{}}}_{\pm{}}=\ \left[ \begin{array}{c} {{\eta{}}_{\pm{}}}_{\dot{1}} \\ \\ {{\eta{}}_{\pm{}}}_{\dot{2}} \end{array}\right]=\ \left[ \begin{array}{c} \pm{}\sqrt{\bar{F^1}-i\bar{F^2}} \\ \\ \sqrt{\bar{F^1}+i\bar{F^2}} \end{array}\right] \end{equation}$

wird die Bedingung erfüllen

{\dot{F}}_{\dot{v}}^{\dot{μ}} {η_{\pm}}_{\dot{μ}} = {\bar{λ}}_{\pm} {η_{\pm}}_{\dot{v}}

$\begin{equation} {\dot{f}}_{\dot{\nu{}}}^{\dot{\mu{}}} \ {{\eta{}}_{\pm{}}}_{\dot{\mu{}}}={\bar{\lambda{}}}_{\pm{}} \ {{\eta{}}_{\pm{}}}_{\dot{\nu{}}} \end{equation}$

am Punkt $Q$ .

Aus diesen expliziten Ausdrücken für Spinorkomponenten können wir das "Massenquadrat" des Impulsdichte-4-Vektors ableiten $P_{\mu{}}$

{P_{μ}} \to P^{μ \dot{v}} = ξ^{μ} ξ^{\dot{v}} + η^{μ} η^{\dot{v}}

$\begin{equation} \left\{P_{\mu{}}\right\}\rightarrow{}P^{\mu{}\dot{\nu{}}}=\ \xi^{\mu{}}\xi^{\dot{\nu{}}}+\eta^{\mu{}}\eta^{\dot{\nu{}}} \end{equation}$

die unter Lorentz-Transformationen invariant ist und daher in allen Referenzrahmen denselben Wert hat:

P^{μ} P_{μ} = 4 {| λ |}^{2}

$\begin{equation} P^{\mu{}}P_{\mu{}}=4{\left\vert{}\lambda{}\right\vert{}}^2 \end{equation}$

Es ist erwähnenswert, dass der Impulsdichtevektor $P_{\mu{}}$ ist immer zeitartig und seine zeitartige Komponente $P_0$ ist immer positiv, daher sind keine Lösungen mit negativen Energien erlaubt.

Querebene elektromagnetische Wellen

Nun betrachten wir den Spezialfall von elektromagnetischen Wellen in der Querebene im Vakuum unter der Annahme, dass sowohl die Maxwell-Gleichungen als auch die Materiefeldgleichungen erfüllt sind.

Die Hauptschwierigkeit besteht darin, das Gleichgewicht zwischen diesen beiden Gleichungen zu finden, die für die Entwicklung des elektromagnetischen Felds und seiner Quelle verantwortlich sind: die Maxwell-Gleichungen und die (spinorialen) Materiefeldgleichungen entsprechend.

Dieses Gleichgewicht kann aufgrund der starken Verbindung zwischen spinoralen Materiefeldern und elektromagnetischen Feldern erreicht werden, die aufgrund der Eigenvektorbedingung aufgebaut werden . Unter Verwendung des von Belinfante und Ohanian (Am. J. Phys. 54 (6) (1986)) entwickelten Ansatzes werden wir zeigen, dass mit dieser Eigenvektorbedingung die Materiefeldgleichung auf Maxwell-Gleichungen reduziert werden kann, so dass Entwicklungen des elektromagnetischen Feldes und seine Quelle wird synchronisiert .

Betrachten Sie transversale ebene Wellen, die sich in Richtung der Achse ausbreiten $\textbf{e}_3$ . In jedem Punkt die elektrischen und magnetischen Feldvektoren $\textbf{E}$ , $\textbf{B}$ sind orthogonal zur Achse $\textbf{e}_3$ :

\begin{matrix} E, B ⊥ e_{3} \\ F^{3} = {\bar{F}}^{3} \equiv 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{array}{c} \textbf{E}, \textbf{B} \ \perp{}\ \textbf{e}_3 \\ \\ F^3={\bar{F}}^3\equiv{}0 \end{array} \end{equation}$

Dies ermöglicht es uns, in unseren Berechnungen die expliziten Ausdrücke für Spinorialfeldkomponenten zu verwenden, die für die spezielle Wahl des Bezugssystems abgeleitet wurden $M_{\perp{}}$ , und schreiben Sie die Materiefeldgleichungen um als

\begin{matrix} (\partial_{1} - {ich \partial}_{2}) (F^{1} + ich F^{2}) = ich \bar{λ} (P^{0} + P^{3}) \\ (\partial_{0} - \partial_{3}) (F^{1} - ich F^{2}) = 0 \\ (\partial_{0} + \partial_{3}) (F^{1} + ich F^{2}) = 0 \\ (\partial_{1} + ich \partial_{2}) (F^{1} - ich F^{2}) = ich \bar{λ} (P^{0} - P^{3}) \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{array}{c} \left({\partial{}}_1-{i\partial{}}_2\right)\left(F^1+iF^2\right) = i \ \bar{\lambda{}} \ \left(P^0+P^3\right) \\ \\ \left({\partial{}}_0-{\partial{}}_3\right)\left(F^1-iF^2\right) = 0 \\ \\ \left({\partial{}}_0+{\partial{}}_3\right)\left(F^1+iF^2\right) = 0 \\ \\ \left({\partial{}}_1+i{\partial{}}_2\right)\left(F^1-iF^2\right) = i \ \bar{\lambda{}} \ \left(P^0-P^3\right) \end{array} \end{equation}$

Gleichzeitig lauten die Maxwell-Gleichungen für transversale ebene Wellen wie folgt:

\begin{matrix} (\partial_{1} - {ich \partial}_{2}) (F^{1} + ich F^{2}) = J^{0} + J^{3} \\ (\partial_{0} - \partial_{3}) (F^{1} - ich F^{2}) = 0 \\ (\partial_{0} + \partial_{3}) (F^{1} + ich F^{2}) = 0 \\ (\partial_{1} + ich \partial_{2}) (F^{1} - ich F^{2}) = J^{0} - J^{3} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{array}{ c} \left({\partial{}}_1-{i\partial{}}_2\right)\left(F^1+iF^2\right)=J^0+J^3 \\ \\ \left({\partial{}}_0-{\partial{}}_3\right)\left(F^1-iF^2\right)=0 \\ \\ \left({\partial{}}_0+{\partial{}}_3\right)\left(F^1+iF^2\right)=0 \\ \\ \left({\partial{}}_1+i{\partial{}}_2\right)\left(F^1-iF^2\right)=J^0-J^3 \end{array} \end{equation}$

Wenn wir die Äquivalenz der Maxwell- und der Materiefeldgleichung fordern, schließen wir daraus, dass sich im Fall der transversalen ebenen Wellen der folgende Zusammenhang zwischen dem Ladungsdichtestrom aufstellen lässt $J^{\mu{}}$ und die Impulsdichte $P^{\mu{}}$ :

J^{μ} = ich \bar{λ} P^{μ}

$\begin{equation} J^{\mu{}}=i \ \bar{\lambda{}}\ P^{\mu{}} \end{equation}$

In diesem Ausdruck ist die elektromagnetische Feldinvariante ( $i\bar{\lambda{}}$ ) spielt die Rolle des Skalars der elektromagnetischen Ladungsdichte (Es ist klar, dass ( $-i\lambda{}$ ) spielt die gleiche Rolle für Antiteilchen).

Allgemein $\bar{\lambda{}}$ ist komplex bewertet und ermöglicht daher sowohl elektrische als auch magnetische Ladungsdichten ungleich Null.

Der für transversale ebene Wellen abgeleitete Ausdruck für die auf Materiefelder wirkende Lorentzkraftdichte lautet wie folgt:

Λ_{μ \dot{v}} = - ich (λ^{2} - {\bar{λ}}^{2}) {P_{A}}_{μ \dot{v}}

$\begin{equation} {\Lambda{}}_{\mu{}\dot{\nu{}}}=-i\left({\lambda{}}^2-{\bar{\lambda{}}}^2\right){P_A}_{\mu{}\dot{\nu{}}} \end{equation}$

Interessant ist die Lorentzkraft $\mathcal{F}^{\mu{}}$ ist proportional zum axialen Vektorstrom ${P_A}^{\mu{}}$ .

Aus dem obigen Ausdruck können wir sehen, dass die Lorentz-Kraft verschwindet, wenn $\textbf{E}\cdot \textbf{B}=0$ , dh wenn Imaginärteile der quadrierten elektromagnetischen Feldinvarianten ${\lambda{}}^2$ Und ${\bar{\lambda{}}}^2$ sind null.

Wenn die Lorentzkraft Null ist, bleibt die Impulsdichte des Materiefelds im Verlauf der Teilchenbewegung konstant, wodurch eine gleichmäßige Bewegung des Teilchens ermöglicht wird.

Wie bereits erwähnt, ist der Wert des "Massenquadrats" des Impulsdichte-4-Vektors $P_{\mu{}}$ ist wie folgt:

P^{μ} P_{μ} = 4 {| λ |}^{2}

$\begin{equation} P^{\mu{}}P_{\mu{}}=4{\left\vert{}\lambda{}\right\vert{}}^2 \end{equation}$

Das heißt, auch wenn die Lorentzkraft Null ist, aber $\lambda$ nicht Null ist, bewegt sich das Quellteilchen nicht mit der Geschwindigkeit $c$ . Dies ist der Fall bei geladenen massiven Teilchen wie z $W$ Und $Z$ Bosonen.

Im Fall von $\textbf{E} \perp{} \textbf{B}$ , $E=B$ wir haben $\lambda{}=\bar{\lambda{}}=0$ , und Materiefeldgleichungen stimmen mit den "quellenfreien" Maxwell-Gleichungen überein. In diesem Fall die Impulsdichte $P^{\mu{}}$ des Materiefeldes ist ungleich Null, während der Ladungsdichtestrom $J^{\mu{}}$ ist Null.

In diesem Sinne ist die elektromagnetische Welle im Vakuum nicht wirklich "quellenfrei", dh trotz Ladungsdichte Null existiert ein spinoriales Materiefeld, das die Quelle des elektromagnetischen Feldes ist. Allerdings können sich nur masselose Photonen mit dieser Geschwindigkeit fortbewegen $c$ (mit $P^{\mu{}}P_{\mu{}}=0$ ).

Im Gegensatz dazu ermöglicht, wie hier gezeigt , im Fall der longitudinalen ebenen Wellen die gleiche Kombination von Maxwell-Gleichungen und Materiefeldgleichungen Lösungen, die:

erfüllen die Majorana-Bedingung,
Masse und Ladungsdichte ungleich Null haben und
Reise mit Lichtgeschwindigkeit.

Daher erlauben Maxwell-Gleichungen masselose Photonen und massive Neutrinos, die sich beide mit der Geschwindigkeit bewegen $c$ .

Was passiert mit QFT?

Das elektromagnetische Feld eines Teilchens wird durch Maxwell-Gleichungen bestimmt , während die Eigenschaften des Teilchens in Abhängigkeit von seiner Masse durch Materiefeldgleichungen wie die Dirac-Gleichung für Elektronen usw. bestimmt werden.

Die Beziehung zwischen diesen beiden Arten von Gleichungen wird normalerweise durch eine willkürliche Konstante namens "elektrische Ladung" hergestellt, wenn der in den Maxwell-Gleichungen verwendete "Ladungsstrom" (als Quelle des elektromagnetischen Felds) einfach als proportional zum mechanischen Impuls eines bestimmten Teilchens angenommen wird durch die Materiefeldgleichungen:

$J_\mu = Q \times P_\mu$

( $J_\mu$ - Ladestrom, $P_\mu$ - mechanisches Moment, $Q$ - "elektrische Ladung" konstant).

Dieser Ansatz funktioniert gut in der QFT, wo alle Partikel als punktförmig oder strukturlos betrachtet werden und die Ladung eines Partikels immer an seine Masse "genagelt" ist.

Grundsätzlich wird in der QFT davon ausgegangen, dass alle Prozesse in einer "Black Box" ablaufen, und die Theorie zielt nur darauf ab, die Ausgaben der Black Box aus gegebenen Eingaben vorherzusagen. In der QFT werden Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (und ihre Kommutierungsbeziehungen) verwendet, um Eingangsteilchen loszuwerden und sie in Ausgangsteilchen umzuwandeln. Schwarze Kästchen sind nichts anderes als Eckpunkte von Feynman-Diagrammen.

Aufgrund dieses grundlegenden "punktartigen" Ansatzes für Teilchen in der QFT kann diese Theorie nicht verwendet werden, um die Probleme im Zusammenhang mit der Masse der Teilchen anzugehen (die bekannten Selbstaktionsschwierigkeiten in der QFT, die nicht auf die massiven Teilchen wie Elektron beschränkt sind , treten aber auch für das Photon auf). Aus diesem Grund sind alle Partikelmassen im Standardmodell nur freie Parameter, die durch Experimente identifiziert wurden. Beispielsweise besteht der Unterschied zwischen Elektron und Myon im SM nur im Wert der Kopplungskonstante des Fermionenfeldes und des Higgsfeldes.

QFT ist eine ausgezeichnete Theorie, aber sie ist nicht allumfassend, und sie ist nicht darauf ausgelegt (oder dafür geeignet), die Probleme der Teilchenmassen anzugehen.

Grob gesagt hat QFT nichts mit Massen der Teilchen zu tun, und daher wird QFT nichts passieren, wenn festgestellt wird, dass Photonen Massen ungleich Null haben (was meiner Meinung nach nicht passieren wird). Das Standardmodell ist flexibel genug, um sowohl massive als auch masselose Partikel zu verarbeiten. Beispielsweise können die Neutrinos im SM massiv und masselos gemacht werden und sogar oszillierende Massen haben.

Dennoch ergibt sich aus dem oben beschriebenen Modell zumindest ein Vorteil für die QFT. In diesem Modell bleibt der Vektorstrom erhalten, während die Divergenz des axialen Stroms genau so ist, wie es die Quantenstörungstheorie erfordert. Bei der QFT ist diese Eigenschaft keine Folge der Theorie, sondern das Ergebnis einer mehrdeutigen Wahl (bekannt als axiale Anomalie).

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen · Answer 2

Es gibt bereits sehr strenge Grenzen für die Masse des Photons, sodass dies unser Verständnis der Physik nur im größten Maßstab beeinträchtigen würde.

Die Kosmologen würden zum Beispiel einiges an Nachdenken haben.

Im Gegensatz zu einem Kommentar würde dies jedoch die Relativitätstheorie nicht beeinträchtigen, außer dass wir den üblichen Namen für überdenken müssten $c$ : nicht "die Lichtgeschwindigkeit", sondern "die ultimative Geschwindigkeit".

Ich würde argumentieren, dass ein massives Photon technisch gesehen tatsächlich viele kosmologische Probleme löst. Es kann Hitze-/Kältetodesszenarien vollständig eliminieren und zu einer endlosen Hierarchie von sich ständig erweiternden Universen mit selbstähnlichen Gesetzen führen (die nicht mit unseren identisch sein müssen). „Wir“ wäre im Grunde die inflationäre Ära eines anderen. Das ist natürlich reine Spekulation meinerseits.
@CuriousOne, das ist eine sehr alte Frage, aber könnten Sie eine Referenz zum Lesen bezüglich einer endlosen Hierarchie von Universen mit selbstähnlichen Gesetzen bereitstellen?

Jamie Bondi · Answer 3

Von experimenteller Seite führen Photonen mit einer Masse zu einer geringfügigen Abweichung vom Coulomb-Gesetz:

F = \frac{k e^{2}}{R^{2 + X}}

$F=\frac{ke^2}{r^{2+x}}$ .

Wenn Photonen eine Masse haben würden, würde der QED-Lagrangian aus theoretischer Sicht einen Term enthalten

A_{μ} A^{μ}

$A_\mu A^\mu$ wodurch die Eichinvarianz gebrochen wird.

In der Physik der kondensierten Materie gibt es jedoch Situationen, in denen Sie sagen, dass die Photonen effektive Masse gewinnen. Zum Beispiel können Sie sagen, dass Photonen beim Meissner-Effekt effektive Masse gewinnen. Tatsächlich ist dies historisch gesehen der erste Gedanke an den Higgs-Mechanismus. Photonen erwerben effektive Masse, genau wie die W- und Z-Bosonen im Standardmodell der Teilchenphysik Masse erwerben.

Das ist nicht die richtige Abweichung. Das durch den Austausch massiver Teilchen erzeugte Potential wird durch das Yukawa-Potential angegeben: $U = \frac{k e^{2}}{R} e^{- M C R / ℏ} .$ $U = \frac{k e^2}{r} \operatorname{e}^{-mcr / \hbar}.$ Die Yukawa-Kraft ist also: $F = \frac{k e^{2}}{R^{2}} e^{- M C R / ℏ} (\frac{M C R}{ℏ} + 1) .$ $F = \frac{ke^2}{r^2} \operatorname{e}^{-mcr/\hbar} \left(\frac{mcr}{\hbar} + 1\right).$

Alkap · Answer 4

(1) Es würde nicht mehr Photon genannt werden. Ein Beispiel: Neutrino. (2) Wenn es sich um ein Teilchen mit endlicher Masse handelt (und der Einfachheit halber keinen Spin hat), würde sein Verhalten dann durch die Klein-Gordon (-Fock)-Gleichung beschrieben, die Lorentz-invariant ist. Es wird immer noch ein Teil der bekannten Physik sein.

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