Was zählen die Nicht-Lorentz-Indizes λλ\lambda des Polarisationsvektors ϵλϵλ\boldsymbol{\epsilon}_\lambda?

$\lambda$zählt die Anzahl der unabhängigen Polarisationen eines Photons. Beachten Sie, dass der Polarisationstensor ein 4-Vektor ist$\epsilon^\mu$. Im Coulomb-Messgerät,$A^0 = 0$so dass$\epsilon^0 = 0$. Somit nimmt ein generischer Polarisationstensor im Coulomb-Eich die Form an$\epsilon^\mu = (0,\epsilon^i)$und ist daher durch 3 Variablen gegeben. Außerdem sind diese drei Variablen nicht alle unabhängig, sondern durch die Bedingung eingeschränkt

$$\epsilon^i p_i = 0 \, .$$ Dies ist 1 Gleichung für 3 Variablen. Wir können daher nach einer der Variablen in Bezug auf die anderen 2 auflösen. Somit gibt es insgesamt 2 unabhängige Lösungen für die obige Gleichung, die wir als bezeichnen $\epsilon_\lambda^i$mit $\lambda = 1 ,2$.

Wenn Sie möchten, können Sie zum Beispiel nach lösen$\epsilon^3$bezüglich$\epsilon^1$Und$\epsilon^2$und eine generische Lösung für die Einschränkung nimmt die Form an

$$\epsilon^\mu = (0,\epsilon^1,\epsilon^2, - \frac{p^1 \epsilon^1 + p^2 \epsilon^2 }{ p^3 } )$$ Dann können die beiden unabhängigen Polarisationen durch Auswählen gefunden werden $(\epsilon^1,\epsilon^2)=(1,0)$Und $(0,1)$. Zum Beispiel $$\epsilon^\mu_{\lambda=1} = (0, 1 , 0 , - \frac{p^1 }{ p^3 } ) \, , \qquad \epsilon^\mu_{\lambda=2} = (0, 0 , 1 , - \frac{p^2 }{ p^3 } )$$ Die obige Wahl unabhängiger Polarisationen sind die linearen Polarisationen.

Ein weiterer Satz von zwei unabhängigen Polarisationen kann durch Auswählen gefunden werden$(\epsilon^1,\epsilon^2)=(1,i)$Und$(1,-i)$. Diese werden Zirkularpolarisationen genannt.

Das$\lambda$zählt die Anzahl unabhängiger Polarisationszustände, die dem Photon zur Verfügung stehen. Echte Photonen existieren nur im Solenoidteil des Vektorpotentials,$\mathbf{A}$. Da es in einem Solenoidfeld an jedem Punkt zwei unabhängige Freiheitsgrade gibt, erhält man zwei mögliche Werte für$\lambda$. Sie könnten drei mögliche Werte für erhalten$\lambda$wenn das Photon Masse hatte, macht es den longitudinalen (rotationsfreien) Teil aus$\mathbf{A}$physikalisch, aber das wäre nicht eicheninvariant.

Es ist einfacher zu sehen, was im Modus Leerzeichen ($\mathbf{k}$-Leerzeichen), wo Integral und Summe bereits in der Frage stehen. Dort,$\lambda$beschriftet nur zwei Vektoren orthogonal zum radialen Einheitsvektor. Eine Wahl für sie wäre$\boldsymbol{\epsilon}_1 = \hat{\theta}$Und$\boldsymbol{\epsilon}_1 = \hat{\phi}$, wobei die Einheitsvektoren traditionell so gewählt werden, dass sie orthogonal zu einem radialen Einheitsvektor in einem sphärischen Koordinatensystem sind. Im physischen Raum macht dies nur Sinn, wenn Sie mit zwei physischen Punkten, einer Quelle und einem Beobachter, statt mit einem arbeiten. Wenn Sie das tun, bedeutet dies, dass das Vektorpotential senkrecht zur Sichtlinie ist, die die beiden Punkte verbindet.

Wie wäre es mit$\phi=A^0$du fragst? Nun, dieses Feld ist eigentlich kein dynamisches Feld, weil seine Zeitableitung nicht in der Lagrange-Funktion erscheint. Daher spielt es eher eine Rolle wie ein Lagrange-Multiplikator-Beschränkungsfeld als alles andere. So,$A^\mu$hat nur 2 Freiheitsgrade, die sich wie Teilchen verhalten, einer, der wie ein Lagrange-Multiplikator wirkt ($\phi$) und eine andere, die aufgrund der Eichinvarianz keinen bestimmten Wert annehmen kann (bis zu einem linearen Integral,$\nabla \cdot \mathbf{A}$).

Einzelheiten zur korrekten Quantisierung des elektromagnetischen Felds (Handhabung sowohl der Beschränkungen für die Messgerätfixierung als auch der Beschränkungsgleichung, die Sie erhalten, wenn Sie die Lagrange-Funktion in Bezug auf variieren$\phi$), empfehle ich Weinbergs „Quantentheorie der Felder“ Bd. 1 und 2 , da er sowohl den kanonischen als auch den Lagrange-Formalismus gründlich durchgeht (auch wenn die Notation etwas umständlich ist).