Wie zählt man die Anzahl der Moden/Polarisationen einer Gaußschen Feldtheorie?

Eine Gaußsche (Frei-)Feldtheorie wird durch eine quadratische Wirkung des Feldes beschrieben, z$S=\int\psi^\dagger K\psi$(oder$S=\frac{1}{2}\int\phi^\intercal K\phi$für reale Felder). Normalerweise muss man nur den Aktionskern diagonalisieren$K$, dann entspricht jeder Eigenvektor einer Mode/Polarisation des Feldes. Zum Beispiel,

$$S=\int \psi^\dagger(-i\partial_\tau+H)\psi\stackrel{\text{diag}}=\sum_n\psi_n^\dagger(-\omega+E_n)\psi_n,$$ wo jeweils $n$bezeichnet einen Modus des Feldes $\psi$, und die Dispersionsrelation (oder das Energiespektrum) ist gegeben, indem der Eigenwert auf Null gesetzt wird, wie z $(-\omega+E_n)=0$und daher $\omega=E_n$.

Als ich jedoch versuchte, diesen Ansatz auf eine Eichtheorie anzuwenden, bekam ich einige Probleme. Betrachten Sie zum Beispiel die Maxwell-Theorie (mit einer euklidischen Metrik in 4 Dimensionen),

$$S=\int\frac{1}{4}F^2=\int\frac{1}{2}A^\mu\Pi_{\mu\nu}A^\nu,$$ Wo $\Pi_{\mu\nu}=k^2\delta_{\mu\nu}-k_\mu k_\nu$ist der Aktionskern, und $k_\mu=i\partial_\mu$ist der Energie-Impuls-Vektor. $\Pi$ist ein $4\times 4$Matrix, die diagonalisiert werden kann. Es wird einen Nullmodus geben, der der Eichtransformation des Eichfelds entspricht (wie aus seinem Eigenvektor ersichtlich ist $A_\mu\sim\partial_\mu \phi$), was nicht als physischer Modus gezählt werden sollte. So weit, ist es gut. Aber es gibt immer noch drei (degenerierte) Moden ungleich Null mit demselben Eigenwert $k^2$. An dieser Stelle würde ich eher zu dem Schluss kommen, dass es drei physikalische Moden geben sollte, die alle auf der Dispersionsrelation degeneriert sind $k^2=0$. Aber tatsächlich haben Photonen nur zwei Transversalmoden. Meine Frage ist, was ist mit der Moduszählung falsch? Sollte der Longitudinalmodus nicht bereits als Nullmodus (Gauge-Modus) ausgeschlossen werden, aber warum bleiben noch drei Eigenmodi übrig? $\Pi$?

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Wenn wir eine Pseudo-Inverse von durchführen$\Pi$, sollte der Photonenpropagator sein

$$-(\Pi^{-1})_{\mu\nu}=\frac{1}{k^2}\left(\delta_{\mu\nu}-\frac{k_\mu k_\nu}{k^2}\right),$$ die auch drei Pole entlang der Dispersion hat $k^2=0$. Wenn jeder Pol einer physikalischen Mode entspricht, dann gibt es drei Photonenmoden, was immer noch im Widerspruch dazu steht, dass Photonen nur zwei Transversalmoden haben. Wie zähle ich den Modus richtig?