Bestimmung des Polarisationszustandes eines Photons, eines klassisch polarisierten Lichtstrahls, und Zusammenhang mit E±iBE±iB\textbf{E}\pm i\textbf{B}

Question

Bestimmung des Polarisationszustandes eines Photons, eines klassisch polarisierten Lichtstrahls, und Zusammenhang mit E±iBE±iB\textbf{E}\pm i\textbf{B}

Photonen
Physik
Polarisation
Quantenfeldtheorie
Klassische-Feld-Theorie
Klassische Elektrodynamik

SRS

In der klassischen Elektrodynamik wird der Polarisationszustand einer monochromatischen elektromagnetischen Welle durch die Richtung des elektrischen Feldes angegeben. Zum Beispiel, $\textbf{E}=\textbf{E}_0\cos(\textbf{k}\cdot\textbf{r}-\omega t)$ Wo $\textbf{E}_0=E_0\hat{\textbf{x}}$ , stellt eine linear polarisierte Welle dar, die längs polarisiert ist $x-$ Achse. Ähnlich, $E = E_{0 X} \hat{X} \cos (k \cdot R - ω T) + E_{0 j} \hat{j} Sünde (k \cdot R - ω T)$ $\textbf{E}=E_{0x}\hat{\textbf{x}}\cos(\textbf{k}\cdot\textbf{r}-\omega t)+E_{0y}\hat{\textbf{y}}\sin(\textbf{k}\cdot\textbf{r}-\omega t)$ stellt eine elliptisch polarisierte Welle dar, bei der die Feldrichtung durch gegeben ist $bräunen θ = \frac{E_{j}}{E_{X}} = \frac{E_{0 j}}{E_{0 X}} bräunen (k \cdot R - ω T) .$ $\tan\theta=\frac{E_y}{E_x}=\frac{E_{0y}}{E_{0x}}\tan(\textbf{k}\cdot\textbf{r}-\omega t).$

-Hier wird also die Polarisation in Bezug auf die Richtung des elektrischen Feldes angegeben.

Andererseits wird der Polarisationszustand einzelner Photonen auf andere Weise angegeben. Einer schreibt $A^\mu(x)$ in Bezug auf die Fourier-Moden als $A^{μ} (X) = \sum_{λ = 0}^{3} \int \frac{D^{3} k}{(2 π)^{3 / 2} \sqrt{2 ω_{k}}} [ϵ_{λ}^{μ} A_{λ} (k) e^{- ich k \cdot X} + ϵ_{λ}^{μ *} A_{λ}^{†} (k) e^{ich k \cdot X}]$ $A^\mu(x)=\sum\limits_{\lambda=0}^{3}\int\frac{d^3\textbf{k}}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_k}}[\epsilon_{\lambda}^{\mu}a_{\lambda}(k) e^{-ik\cdot x}+\epsilon_{\lambda}^{\mu *}a_{\lambda}^{\dagger}(k)e^{ik\cdot x}]$ Wo $\epsilon^\mu$ heißt Polarisations-Vier-Vektoren.

Daraus kann man unter Verwendung der Lorentz-Eichbedingung zeigen, dass dies für eine gegebene Ausbreitungsrichtung gilt $\textbf{k}$ , $\textbf{k}\cdot\boldsymbol{\epsilon}=0$ , nur zwei Komponenten von $\epsilon^\mu$ sind unabhängig. Also ein Photon (Quanten von quantisierten $A^\mu$ Feld) soll zwei unabhängige Polarisationszustände haben.

-Hier wird die Polarisation in Bezug auf angegeben $\boldsymbol{\epsilon}$ .

Der $(0,1)$ Und $(1,0)$ Darstellung der Lorentz-Gruppe, soll entsprechen $\textbf{E}\pm i\textbf{B}$ . Diese werden auch als linkszirkular polarisiertes Photon und rechtszirkular polarisiertes Photon bezeichnet. Was nun noch eine weitere andere Definition von Polarisation ergibt.

-Hier wird die Polarisation sowohl in Bezug auf das elektrische als auch auf das magnetische Feld angegeben.

Beachten Sie, dass ich in 1 (wobei der Polarisationszustand durch die Richtung des elektrischen Feldes angegeben ist ) und 2 (wobei der Polarisationszustand durch angegeben ist) zwei unterschiedliche und scheinbar nicht zusammenhängende Definitionen der Polarisation gegeben habe $\boldsymbol{\epsilon}$ ).

Warum sind die Definitionen der Polarisation in der klassischen Elektrodynamik und der Quantenfeldtheorie so unterschiedlich? Ich glaube, diese beiden Definitionen sind verwandt, aber ich kann den Zusammenhang nicht erkennen.

Wie passt die Definition 3 in die Definition von links- und rechtszirkular polarisiertem Licht, wie sie in 1 angetroffen wird, und stimmt mit ihr überein?

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Warum sind die Definitionen der Polarisation in der klassischen Elektrodynamik und der Quantenfeldtheorie so unterschiedlich? Ich glaube, diese beiden Definitionen sind verwandt, aber ich kann den Zusammenhang nicht erkennen.

Beachten Sie, dass wir in dem in Ihrer Frage angegebenen QFT-Ansatz den freien Photonenfeldoperator aus masselosen irreduziblen Darstellungen der Poincare-Gruppe mit Helicitäten erstellen $\pm 1$ , also die Projektion des vollen Drehimpulses auf die Impulsrichtung $\mathbf{k}$ . Das heißt, das elektrische Feld eines einzelnen Photons hat die gegebene Helizität. In der klassischen Elektrodynamik (und eigentlich immer dann, wenn Vielphotonen-Wechselwirkungen wichtig sind) sprechen wir typischerweise von der Polarisation elektrischer und magnetischer Felder, die aus vielen Photonen aufgebaut sind, was nicht dasselbe ist wie die Einzelphotonen-Helizität.

Wie passt die Definition 3 in die Definition von links- und rechtszirkular polarisiertem Licht, wie sie in 1 angetroffen wird, und stimmt mit ihr überein?

Die wahren Bedingungen für das masselose Feld der Helizität $+1$ Ist

\begin{matrix} (1) & F_{μ v} = + ich {\tilde{F}}_{μ v}, \partial_{μ} F^{μ v} = 0 \end{matrix}

$\tag 1 F_{\mu\nu} = +i\tilde{F}_{\mu\nu}, \quad \partial_{\mu}F^{\mu\nu} = 0$ während für das masselose Feld der Helizität

- 1

$-1$ Ist

\begin{matrix} (2) & F_{μ v} = - ich {\tilde{F}}_{μ v}, \partial_{μ} F^{μ v} = 0, \end{matrix}

$\tag 2 F_{\mu\nu} = -i\tilde{F}_{\mu\nu}, \quad \partial_{\mu}F^{\mu\nu} = 0,$ Wo

{\tilde{F}}_{μ ν} = \frac{1}{2} ϵ_{μ ν α β} F^{α β}

$\tilde{F}_{\mu\nu} =\frac{1}{2}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}F^{\alpha\beta}$ (Die Bianchi-Identität wird automatisch erfüllt).

Es stellt sich nur heraus, dass die Helizität mit der zirkularen Polarisation zusammenfällt. Sie können es beweisen, indem Sie verwenden $(1),(2)$ . Lassen Sie uns die Erweiterung vorstellen $F_{\mu\nu} = (\mathbf{E},\mathbf{B})$ , $\tilde{F}_{\mu\nu} = (-\mathbf B, \mathbf E)$ . Wir erhalten

\begin{matrix} (3) & E_{\pm} = \mp ich B_{\pm}, \nabla \cdot E_{\pm} = 0, \nabla \times B_{\pm} = \partial_{T} E_{\pm} \end{matrix}

$\tag 3\mathbf E_{\pm} = \mp i\mathbf{B}_{\pm}, \quad \nabla \cdot \mathbf E_{\pm} = 0, \quad \nabla \times \mathbf B_{\pm} = \partial_{t}\mathbf E_{\pm}$ Die zweite Gleichung gibt die Entwicklung in Form von divergenzlosen Eigenvektoren im Impulsraum an:

E_{\pm} (k, T) = e_{\pm} (k) E_{\pm} (T), k \cdot e_{\pm} = 0, e_{\pm}^{*} (k) \cdot e_{\mp} (k) = 0, | e_{\pm} (k) |^{2} = 1

$\mathbf{E}_{\pm}(\mathbf k,t) = \mathbf{e}_{\pm}(\mathbf k)E_{\pm}(t), \quad \mathbf k \cdot \mathbf{e}_{\pm} = 0, \quad \mathbf e_{\pm}^{*}(\mathbf k) \cdot \mathbf e_{\mp}(\mathbf k) = 0, \quad |\mathbf{e}_{\pm}(\mathbf k)|^{2} = 1$ Als nächstes wird die erste Gleichung von

(3)

$(3)$ Einfügen in die dritte ergibt (wir haben die Dispersionsrelation berücksichtigt

ω = | k |

$\omega = |\mathbf{k}|$ )

[k \times e_{\pm} (k)] E_{\pm} (T) = \mp ich k e_{\pm} (k) E_{\pm} (T)

$[\mathbf k \times \mathbf{e}_{\pm}(\mathbf k)]E_{\pm}(t) = \mp ik\mathbf{e}_{\pm}(\mathbf{k})E_{\pm}(t)$ Lassen Sie uns die Richtung wählen

k = (0, 0, k)

$\mathbf k = (0,0,k)$ , und schreibe

e_{+} = (a, b, 0)

$\mathbf e_{+} = (a,b,0)$ ,

e_{-} = (c, d, 0)

$\mathbf e_{-} = (c,d,0)$ . Dann erhalten Sie

(B, - A, 0) E_{+} (T) = - ich (A, B, 0) E_{+} (T), (D, - C, 0) E_{-} (T) = + ich (C, D, 0) E_{-} (T)

$(b,-a,0)E_{+}(t)= - i(a,b,0)E_{+}(t), \quad (d, -c,0)E_{-}(t) = +i(c,d,0)E_{-}(t)$ Für beliebige Funktionen

E_{\pm}

$E_{\pm}$ Sie erhalten

B = - ich A, D = + ich C

$b = -ia, \quad d = +ic$ Zusammen mit der Beziehung

| e_{\pm} |^{2} = 1

$|\mathbf e_{\pm}|^{2} = 1$ Sie erhalten (bis zur imaginären Einheit)

e_{+} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, - ich, 0), e_{-} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, ich, 0)

$\mathbf{e}_{+} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -i, 0), \quad \mathbf{e}_{-} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,i,0)$ Die Helizitätserweiterung des Ein-Photonen-Zustands fällt also mit der Erweiterung der Zirkularpolarisation zusammen.

Was meinst du mit Gl. (1) und Gl. (2)? Der standardmäßige elektromagnetische Tensor $F_{\mu\nu}$ ist eine reelle 2-Form, und die Hodge-Duale reeller Formen sind reell und schreiben $F_{\mu\nu} = \mathrm{i}\tilde{F}_{\mu\nu}$ ist unsinnig (wie aus der Definition von ersichtlich ist $\tilde{F}$ Sie geben - es gibt keine Möglichkeit für eine imaginäre Einheit, einzutreten).
@ACuriousMind: Ich konstruiere die masselose irreduzible Darstellung der Poincare-Gruppe mit Helizität $\lambda = \pm 1$ indem man von den Spinoren ausgeht $A_{aa}, A_{\dot{a}\dot{a}}$ befriedigende Gleichungen $\partial^{A \dot{A}} A_{A B} = 0, A_{A B} = A_{B A}, λ = + 1,$ $\partial^{a\dot{a}}A_{ab} = 0, \quad A_{ab} = A_{ba}, \quad \lambda = +1,$ $\partial^{A \dot{B}} A_{\dot{A} \dot{B}} = 0, A_{\dot{A} \dot{B}} = A_{\dot{B} \dot{A}}, λ = - 1$ $\quad \partial^{a\dot{b}}A_{\dot{a}\dot{b}} = 0, \quad A_{\dot{a}\dot{b}} = A_{\dot{b}\dot{a}}, \quad \lambda = -1$ Die direkte Summe der Helizitäten $\pm 1$ Wiederholungen $(1, 0) \oplus (0,1)$ entspricht dem reellen Tensor $F_{\mu\nu}$ . Dies ist jedoch nicht der Fall, wenn wir nur eine Helizität haben.
Ich glaube nicht, dass dies die Besorgnis von @ACuriousMinds beantwortet. Wenn wir mit realen Formen beginnen, müssen wir bei realen Formen bleiben. Wenn wir in der Komplexifizierung der Lorentz-Gruppe arbeiten, müssen wir danach über irgendeine Realitätsbedingung zurückkehren. Vielleicht lässt sich das mit einer Kennzeichnung beheben $i$ mit der Einheit Pseudo-Scaler via $dx$ ^ $dy$ ^ $dz$ ^ $dt$ ?
Das heißt, meine Frage ist, dass die Implikation hier ist, dass real-zirkular polarisierbare Felder nicht existieren. Aber wir beobachten in Wirklichkeit Zirkularpolarisation, oder?

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