Polarisation und Eichsymmetrie

In QFT ist die dynamische Variable das Viererpotential$A_\mu$. Das elektromagnetische Feld ist definiert durch$F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$, ein antisymmetrischer Tensor mit sechs unabhängigen Komponenten: 3 für das elektrische Feld und 3 für das magnetische Feld$E^i = - F^{0i}$,$B^i = -\frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}F^{jk}$. Die Maxwell-Gleichungen sind

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = \partial_\mu\partial^\mu A^\nu -\partial^\nu \partial_\mu A^\mu = 0$$ die von der folgenden Lagrangedichte abgeleitet ist $$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$$ Außerdem hat das Viererpotential eine Eichsymmetrie, was bedeutet, dass sich die Observablen bei der Transformation nicht ändern $$A_\mu \to A_\mu - \partial_\mu \chi$$ Dies ermöglicht es uns, verschiedene Messgeräte festzulegen, die die Berechnungen vereinfachen (oder auch nicht) können. Man kann zum Beispiel wählen$A$so dass$A^0 = 0$Und$\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0$(Strahlungsmesser genannt). Mit dieser Wahl reduziert sich die Maxwell-Gleichung auf eine masselose Klein-Gordon-Gleichung $$\partial_\mu \partial^\mu A^i = 0$$ Eine bestimmte Lösung für diese Gleichung ist $$A^\mu(k, \lambda) = \epsilon^\mu(k, \lambda) a_{k,\lambda} e^{-ikx} + {\epsilon^\mu}^*(k, \lambda) a_{k,\lambda}^*e^{ikx} \qquad \text{with}\quad k_\mu k^\mu =0$$ Hier$a_k$ist die Amplitude des Modus (der bei der kanonischen Quantisierung zum Vernichtungsoperator wird) und$\epsilon^\mu$der Polarisationsvektor und$\lambda$ist ein Index für die Basis von Polarisationsvektoren. In der allgemeinen Lösung müssen Sie über alle möglichen Impulse und Polarisationen summieren. Mit dem Strahlungsmessgerät,$A^0 = 0$impliziert, dass$\epsilon^0 =0$Und$\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0$impliziert$k_i\epsilon^i = 0$, das ist die übliche Polarisation in der klassischen Elektrodynamik, senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Wie Sie sehen, wird von den 4 möglichen Freiheitsgraden für die Polarisation einer über die Eichfreiheit und der andere mit den Bewegungsgleichungen eliminiert.

Eine weitere mögliche Spurweite ist die von 't Hooft und Feynman . Diesmal legen wir dem Viererpotential nichts direkt auf, sondern brechen von Hand die Eichsymmetrie am Lagrangian

$$\mathcal{L}' = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} - \frac{1}{2}(\partial_\mu A^\mu)^2$$ Der Punkt bei diesem Ansatz ist, dass die kanonischen Impulse mit jeder Komponente konjugiert sein müssen$A_\mu$für kanonische Quantisierung. Wie der Maxwell Lagrangeian das festlegt$\partial_0 A^0 = 0$, Sie haben Probleme. Sie können die beseitigen$A^0$insgesamt (wie oben) oder einen Ad-hoc- Begriff enthalten$\partial_0 A^0 \neq 0$und entsorgen Sie es später. Mit diesem neuen Lagrangian erhält man wieder eine masselose Klein-Gordon-Gleichung $$\partial_\mu \partial^\mu A^\nu = 0$$ Jetzt haben Sie die vier Freiheitsgrade für den Polarisationsvektor, oder zumindest scheinbar. Ein weiteres Problem bei diesem Messgerät besteht darin, dass ein Vierpotential mit Polarisation vorhanden ist$\epsilon^\mu(k,0) =( \epsilon, 0, 0, 0)$hat eine negative Norm. Die Lösung ist die Gupta-Bleuler-Quantisierung : Wir benötigen einen beliebigen physikalischen Zustand$|\psi\rangle$,$|\phi\rangle$verifizieren $$\langle \psi | \partial_\mu A^\mu |\phi \rangle = 0$$ Bei der Durchsetzung dieser Bedingung stellt sich heraus, dass die zeitliche und die longitudinale Polarisation in jedem physikalischen Zustand zusammen auftreten müssen, wodurch die Freiheitsgrade um eins reduziert werden. Darüber hinaus haben die Zustände mit dieser seltsamen zeitlich-längsgerichteten Polarisierung eine Null-Norm, Null-Energie, Null-Impuls usw. Daher können Sie sie einfach ohne physikalische Konsequenzen verwerfen und effektiv einen anderen Freiheitsgrad eliminieren. Am Ende behält man nur noch die guten alten Querpolarisationen.

tl; dr: Bei jeder Spurweitenwahl gibt es zwei Polarisationen, senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.

Polarisation des elektrischen Feldes

Sobald Sie das Viererpotential haben, ist es einfach, das elektrische Feld zu erhalten. Für das obige Viererpotential

$$E^i = - F^{0i} = \partial^i A^0 - \partial^0 A^i = i \omega_k \left( -\epsilon^i(k, \lambda) a_{k,\lambda} e^{-ikx} + {\epsilon^i}^*(k, \lambda) a^*_{k,\lambda} e^{ikx} \right) = 2 \omega_k \textrm{Im}[\epsilon^i(k,\lambda) a_{k,\lambda}]\sin(\omega_k t - \vec{k}\cdot \vec{x})$$ Wir haben also eine typische ebene Amplitudenwelle wiederhergestellt$E_0 = 2\omega_k \textrm{Im} (a_{k,\lambda})$und Polarisationsvektor$\epsilon^i$.

Natürlich kann man mehrere ebene Wellen mit unterschiedlichen Polarisationen überlagern und auf diese Weise zirkulare Polarisationen und elliptische Polarisationen erhalten. In der QFT sind zirkular polarisierte Photonen besonders wichtig, da sie Helizitäts-Eigenzustände sind.