Warum gibt es manchmal einen zusätzlichen Term in den Orthogonalitätsbeziehungen für die Polarisationsvektoren?

Betrachtet man die Polarisationsvektoren eines massiven Spin-1-Feldes , wie z A μ mit Lagrange-Dichte

(A) L = − 1 4 F μ v F μ v + 1 2 M 2 A μ A μ ,
Wir erweitern die Lösungen von A μ als
(B) A μ ( X ) = ∑ λ ∫ D k ~ [ ε μ ( λ , k ) A ( λ , k ) e − ich k X + ε μ ( λ , k ) ∗ A † ( λ , k ) e ich k X ] ,
wo die drei Polarisationsvektoren { ε ( λ , k ) } λ die Vollständigkeitsbeziehungen erfüllen
(C) ∑ λ ε μ ( λ , k ) ε v ∗ ( λ , k ) = − η μ v + k μ k v M 2 .

Die Fragen:

  1. Woher kommt der zweite Begriff k μ k v / M 2 komme aus?
  2. Warum wird es benötigt?
  3. Verwenden Sie (C) und gehen Sie ins Masselose M → 0 Grenze erhalten wir eine Singularität, wodurch die Relation schlecht definiert würde. Wie sollte also mit der masselosen Grenze umgegangen werden?
  4. Unter welchen anderen Umständen (massive/masselose Spin-X-Felder) ist eine ähnliche Korrektur der Vollständigkeitsbeziehungen erforderlich?

Die obigen Formeln finden sich zum Beispiel in Srednicki, (85.16) , mit einer etwas anderen Notation (er verwendet die entgegengesetzte Konvention der Minkowski-Raummetrik als ich).

die RHS ist der allgemeinste symmetrische 2-Tensor, den Sie mit der Metrik und k schreiben können. es stellt sich heraus, dass -1 und 1 / M 2 sind die richtigen Koeffizienten.

Antworten (1)

  1. Beachten Sie, dass die "Vollständigkeits"-Beziehung nur der Projektor auf den Raum ist, der von den Polarisationsvektoren aufgespannt wird. A priori wissen wir das P ϵ μ v := ∑ λ ϵ λ μ ( k ) ϵ λ ∗ v ( k ) projiziert daher auf den Unterraum orthogonal zum Impuls, da ζ μ k μ = 0 für jeden Polarisationsvektor ζ μ . Der allgemeinste symmetrische 2-Tensor, der nur von der Metrik und dem Impuls abhängt, ist P ϵ μ v = A η μ v + B k μ k v mit A , B ∈ C zunächst willkürlich. Das Anwenden des Projektors auf die Impulserträge P ϵ μ v k μ = A k v + B k 2 k v = ! 0 , und verwenden k 2 = M 2 , die von Ihnen angegebene Beziehung wird erhalten.

  2. Denn es ist die Bedingung, dass der Vektor eine Polarisation ist und nicht irgendein Vektor.

  3. Die masselose Grenze der Proca-Wirkung ist tatsächlich schlecht definiert. Man kann den Stückelberg-Lagrangian mit einem Hilfsskalarfeld verwenden ϕ , die einen glatten masselosen Grenzwert sowie eine explizite Eichinvarianz für massiv hat U ( 1 ) Felder. (Deshalb sind massive Photonen in der QED kein Problem)

L = − 1 4 F μ v F μ v + 1 2 ( ∂ μ ϕ + M A μ ) ( ∂ μ ϕ + M A μ )

  1. Sie brauchen eine solche Modifikation jedes Mal, wenn Sie unphysikalische Freiheitsgrade haben , wie wir es bei Polarisationen haben ∼ k in diesem Fall.
Es ist also richtig zu sagen, dass diese Bedingung (das von mir erwähnte (C) ) nicht bewiesen, sondern vielmehr auferlegt werden muss, um sicherzustellen, dass Polarisationsvektoren bei der Expansion verwendet werden A μ sind so, dass die EOM
[ ◻ η μ v − ( 1 − 1 / ξ ) ∂ v ∂ μ ] A μ ( X )
halten? Oder anders gesagt, sie projizieren auf den Raum von 4-Vektoren ε μ befriedigend
[ − k 2 η μ v + ( 1 − 1 / ξ ) k μ k v ] ε μ = 0
@glance: Sie projizieren auf den Raum von 4-Vektoren orthogonal zu k . Die Einschränkung ergibt sich aus der Tatsache, dass die Proca-Gleichung die Einschränkung impliziert ∂ μ A μ = 0 , die ebenso wie die Eichbedingung in der Gupta-Bleuler-Quantisierung für Eichbosonen auf dem Hilbertraum implementiert werden müssen. In diesem Sinne ist es in der Tat erforderlich, dafür zu sorgen, dass die ϵ überspannen nur den Raum der physikalischen Zustände.
Ja, tut mir leid, ich habe massive und masselose Fälle gemischt. Im masselosen Fall ist es aber dasselbe, oder? Wir stellen immer noch eine Lorentz-Bedingung auf und verlangen daher k μ ε μ = 0 , während die zusätzliche Eichfreiheit aus der Identifizierung aller Polarisationsvektoren resultiert, die sich um ein Vielfaches des Impuls-4-Vektors unterscheiden: ε μ ( k ) ≈ ε μ ( k ) + a k μ . Ist das richtig?
@glance: Ja, das ist richtig. Das Aufteilen der Störzustände, die Vielfachen des 4-Impulses für masselose Vektorbosonen entsprechen, folgt aus der Resteichsymmetrie/Ward-Identitäten, und wir haben diese für massive Felder nicht.
Warum gibt es manchmal einen zusätzlichen Term in den Orthogonalitätsbeziehungen für die Polarisationsvektoren?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v