Woher kommt dieser Polarisationsvektor?

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Woher kommt dieser Polarisationsvektor?

Bosonen
Physik
Polarisation
Vektorfelder
Quantenfeldtheorie
Klassische-Feld-Theorie

Gold

Bei der Behandlung von Vektorfeldern in seinem QFT-Buch schreibt Schwartz das klassische Feld in Bezug auf eine Basis, von der ich nicht weiß, wie er darauf kommt.

Er stellt zuerst den Proca Lagrange vor

L = - \frac{1}{4} F_{μ v} F^{μ v} + \frac{1}{2} M^{2} A_{μ} A^{μ} .

$\mathcal{L}=-\dfrac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\dfrac{1}{2}m^2A_\mu A^\mu.$

Die Bewegungsgleichungen lauten dann $(\Box + m^2)A_\mu = 0$ Und $\partial^\mu A_\mu = 0$ .

Er sagt dann:

Lassen Sie uns nun explizite Lösungen für die Bewegungsgleichungen finden. Wir beginnen mit der Fourier-Transformation unserer klassischen Felder. Seit $(\Box+m^2)A_\mu=0$ , können wir jede Lösung als schreiben

$A_{μ} (X) = \sum_{ich} \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} {\tilde{A}}_{ich} (P) ϵ_{μ}^{ich} (P) e^{ich P X}, P_{0} = ω_{P} = \sqrt{| P |^{2} + M^{2}}$ $A_\mu(x)=\sum_i \int \dfrac{d^3 p}{(2\pi)^3}\tilde{a}_i(p)\epsilon^i_\mu(p) e^{ipx}, \quad p_0=\omega_p=\sqrt{|\mathbf{p}|^2+m^2}$

für einige Basisvektoren $\epsilon^i_\mu(p)$ . Zum Beispiel könnten wir trivial nehmen $i=1,2,3,4$ und vier Vektoren verwenden $\epsilon^i_\mu(p)=\delta^i_\mu$ in dieser Zerlegung. Stattdessen wollen wir eine Basis, die Kraft gibt $A_\mu$ um automatisch auch seine Bewegungsgleichung zu erfüllen $\partial^\mu A_\mu=0$ . Dies wird passieren, wenn $p^\mu \epsilon_\mu^i(p) =0$ . Für alle fest $4$ -Schwung $p^\mu$ mit $p^2=m^2$ , gibt es drei unabhängige Lösungen dieser Gleichung, die durch drei gegeben sind $4$ -Vektoren $\epsilon_\mu^i(p)$ , Notwendig $p^\mu$ abhängig, die wir Polarisationsvektoren nennen. Also müssen wir nur zusammenfassen $i=1,2,3$ . Wir normalisieren die Polarisationen herkömmlicherweise durch $\epsilon_\mu^\ast \epsilon^\mu =-1$ .

Ich verstehe das überhaupt nicht. Nehmen Sie die Fourier-Transformation von $\Box A_\mu + m^2 A_\mu = 0$ und bezeichnen $\hat{A}_\mu$ die Fourier-Transformation, die wir haben

A_{μ} (X) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} (A_{μ} (P) e^{- ich P X} + A_{μ}^{*} (P) e^{ich P X}) .

$A_\mu(x)=\int \dfrac{d^3 p}{(2\pi)^3} (a_\mu(p) e^{-ipx}+a_\mu^\ast(p)e^{ipx}).$

Dies erfolgt durch die dreidimensionale Fourier-Transformation, wodurch die Gleichung erhalten wird $\partial_t^2\hat{A}+\omega_p^2 \hat{A}=0$ , das zu erkennen $\hat{A}_\mu= a_\mu(p) e^{-i\omega_p t}+b_\mu(p) e^{i\omega_p t}$ und schließlich mit der Bedingung that $A_\mu$ ist echt damit $b_\mu(p)=a_\mu^\ast(-p)$ was direkt zu obiger Formel führt.

Es gibt kein $\epsilon^i_\mu(p)$ überall. Ich kann auch nicht verstehen, warum es das geben sollte. Die Summe hat ohnehin nur zwei Terme.

Hier fehlt mir also wirklich etwas. Wie wird dieses Ergebnis richtig abgeleitet?

Ismasou

Ihre Lösung ist die triviale Lösung, von der sie wo sprechen

ϵ = δ

$\epsilon = \delta$ , darüber sollten Sie nachdenken

ϵ

$\epsilon$ als Basis der Koordinaten, also sagt es uns, in welche Richtung das Feld oszilliert (Polarisation) und wegen der zweiten Bewegungsgleichung erhalten wir, dass die Richtung der Polarisation orthogonal zu der des Impulses sein muss, also können wir eine vergessen Richtung in unseren Berechnungen (die Impulsrichtung), deshalb ist es besser, das Feld in Bezug auf diese Basis-(Polarisations-)Vektoren zu schreiben.

Ismasou

Wenn es sich um klassische Physik handelte, schreiben Sie das Feld in Begriffen von

e_{x} e_{y} e_{z}

$e_x e_y e_z$ .

Antworten (1)

Woher kommt dieser Polarisationsvektor?

Ihre Lösung ist die triviale Lösung, von der sie wo sprechen $\epsilon = \delta$ , darüber sollten Sie nachdenken $\epsilon$ als Basis der Koordinaten, also sagt es uns, in welche Richtung das Feld oszilliert (Polarisation) und wegen der zweiten Bewegungsgleichung erhalten wir, dass die Richtung der Polarisation orthogonal zu der des Impulses sein muss, also können wir eine vergessen Richtung in unseren Berechnungen (die Impulsrichtung), deshalb ist es besser, das Feld in Bezug auf diese Basis-(Polarisations-)Vektoren zu schreiben.
Wenn es sich um klassische Physik handelte, schreiben Sie das Feld in Begriffen von $e_x e_y e_z$ .

AccidentalFourierTransform · Answer 1

Du bist fast da. Gegeben

A_{μ} (X) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} (A_{μ} (P) e^{- ich P X} + A_{μ}^{†} (P) e^{ich P X}) .

$A_\mu(x)=\int \dfrac{d^3 p}{(2\pi)^3} (a_\mu(p) e^{-ipx}+a_\mu^\dagger(p)e^{ipx}).$ Sie können einen beliebigen Satz von vier linear unabhängigen Vektoren auswählen

{ϵ_{μ}^{1}, ϵ_{μ}^{2}, ϵ_{μ}^{3}, ϵ_{μ}^{4}}

$\{\epsilon_\mu^1,\epsilon_\mu^2,\epsilon_\mu^3,\epsilon_\mu^4\}$ und erweitern die

a_{μ}

$a_\mu$ in Bezug auf sie:

A_{μ} = \sum_{ich = 1}^{4} A_{ich} ϵ_{μ}^{ich}

$a_\mu=\sum_{i=1}^4a_i \epsilon_\mu^i$ für einige Koeffizienten

a_{i}

$a_i$ . Die von S. genannte „triviale Grundlage“ ist

ϵ_{μ}^{i} \equiv δ_{μ}^{i}

$\epsilon^i_\mu\equiv\delta^i_\mu$ , in diesem Fall wird dieser Ausdruck

A_{μ} = \sum_{ich = 1}^{4} A_{ich} δ_{μ}^{ich} = A_{μ}

$a_\mu=\sum_{i=1}^4a_i \delta_\mu^i=a_\mu$ dh die Koeffizienten

a_{i}

$a_i$ sind nur die kartesischen Komponenten von

a_{μ}

$a_\mu$ . Im Prinzip ist das eine valide Basis, aber wir können noch besser werden. Zum einen in dieser Grundlage die Transversalitätsbedingung

p \cdot a = 0

$p\cdot a=0$ ist nicht sofort umsetzbar.

Wenn wir eine Basis wählen, ändert sich das mit $p$ , so dass

P \cdot ϵ^{1} = P \cdot ϵ^{2} = P \cdot ϵ^{3} = 0, ϵ^{4} = P / M

$p\cdot\epsilon^1=p\cdot\epsilon^2=p\cdot\epsilon^3=0,\qquad \epsilon^4=p/m$ dann können wir wie zuvor schreiben,

A_{μ} = \sum_{ich = 1}^{4} A_{ich} ϵ_{μ}^{ich}

$a_\mu=\sum_{i=1}^4a_i \epsilon_\mu^i$ aber jetzt der zustand

p \cdot a

$p\cdot a$ ist äquivalent zu

a_{4} = 0

$a_4=0$ , so dass in Kraft

A_{μ} = \sum_{ich = 1}^{3} A_{ich} ϵ_{μ}^{ich}

$a_\mu=\sum_{i=1}^3a_i \epsilon_\mu^i$

Mit diesem,

A_{μ} (X) = \sum_{ich = 1}^{3} \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} (A_{ich} ϵ_{μ}^{ich} e^{- ich P X} + A_{ich}^{†} ϵ_{μ}^{ich *} e^{ich P X}) .

$A_\mu(x)=\sum_{i=1}^3\int \dfrac{d^3 p}{(2\pi)^3} (a_i \epsilon_\mu^i e^{-ipx}+a^\dagger_i \epsilon_\mu^{i*} e^{ipx}).$ was der letzte Ausdruck für ein freies Proca-Feld ist.

Ich glaube, ich verstehe den Punkt. Das Feld $A$ ein Kovektorfeld ist, so dass $A(x)= A_\mu(x) dx^\mu$ . Wenn wir Fourier transformieren, erhalten wir ein weiteres Covektorfeld $a_\mu(p) dp^\mu$ . Daher $a_\mu$ wird in der kanonischen Basis ausgedrückt, aber wir können zu einer anderen Basis wechseln $\epsilon^i(p)$ , mit $\epsilon^i(p) = \epsilon^i_\mu(p) dp^\mu$ . Das können wir also herausfinden $a_\mu(p) = \tilde{a}_i(p) \epsilon^i_\mu(p)$ . Nur warum sollten wir das tun? Ist es eine Grundlage zu wählen, die die Bedingung bereits auferlegt $A_\mu$ Feld, das wir wollen, nämlich $\partial^\mu A_\mu = 0$ ? Wir beschränken uns also auf einen Unterraum?
@ user1620696 ja, genau das ist los. Die neue Basis ist bequem, weil sie die Transversalitätsbedingung macht $\partial\cdot A=0$ trivial umzusetzen. In der alten Basis müssten Sie den Zustand tragen $p\cdot a=0$ bei all Ihren Berechnungen mit.

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Ismasou

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