Instantonen in reiner Yang-Mills-Theorie verstehen

Ja, ein Instanton ist eine klassische Lösung der euklidischen Bewegungsgleichungen mit endlicher Wirkung. Seine topologische Ladung ist gegeben durch$k = \frac{1}{8\pi}\int \mathrm{tr}(F\wedge F)$das ist das Integral der Divergenz des Chern-Simons-Stroms .

Es sind viele verschiedene Instantons möglich. Ein generisches Instanton für$\mathrm{SU}(2)$und die topologische Ladung 1 ist durch das BPST-Instanton gegeben

$$A_\mu^a(x) = \frac{2}{g}\frac{\eta_{\mu\nu}^a(x-x_0)^\nu}{(x -x_0)^2 - \rho ^2}$$ Wo $x_0$ist das "Zentrum" des Instantons und $\rho$seine Skala, auch Radius genannt. Der $\eta$ist das 't Hooft-Symbol .

Eine große Klasse von Instantonen mit topologischer Ladung$k$kann wie folgt beschrieben werden: Transformieren des BPST-Instantons durch die singuläre Transformation$x^\mu \mapsto \frac{x^\mu}{x^2}$führt zum Ausdruck

$$A_\mu^a(x) = -\eta_{\mu\nu}^a \partial^\nu\left(\ln\left(1+\frac{\rho^2}{(x-x_0)^2}\right)\right)$$ für das transformierte Instanton, und man macht nun den allgemeineren Ansatz $$A_\mu^a(x) = -\eta_{\mu\nu}^a \partial^\nu\left(\ln\left(1+\sum_{l=1}^k \frac{\rho_l^2}{(x-x_{0,l})^2}\right)\right)$$ was zu einer Instanton-Lösung mit topologischer Ladung führt $k$. Diese Konstruktion kann auf andere nicht-Abelsche Eichgruppen verallgemeinert werden.

Die generische Konstruktion aller Instantons auf vierdimensionalen Raumzeiten der Eichgruppe$\mathrm{SU}(N)$durch das ADHM-Instanton gegeben ist , siehe auch die Originalarbeit "Construction of instantons" von Atiyah, Drinfeld, Hitchin und Manin.