Quick-and-dirty-Weg, um schwere Felder zu integrieren

Question

Quick-and-dirty-Weg, um schwere Felder zu integrieren

Physik
Wegintegral
Renormalisierung
Quantenfeldtheorie
Beyond-the-Standard-Modell

JeffDror

Ich verstehe den Prozess des Integrierens schwerer Freiheitsgrade einer Lagrange-Funktion grob, nämlich das Ergreifen der Aktion und das Ausführen des Pfadintegrals über die Moden mit hohem Impuls.

Im Fall des W-Bosons ist dieser Ansatz jedoch nicht wirklich erforderlich. Sie können einfach die Vier-Fermi-Wechselwirkung mit dem vollständigen Theorieergebnis vergleichen und Sie können die Kopplung der Vier-Fermi-Wechselwirkung finden. Gibt es immer einen "einfachen Weg", dies zu erreichen?

In meinem speziellen Fall versuche ich, dieses Papier zu verstehen . Wir haben zwei Higgs-Bosonen und die Wechselwirkung des schweren Triplett-Higgs, $\xi = (\xi ^{++}, \xi^+ , \xi ^0) ^T$ mit den Leptonen ist

F_{ich J} [ξ^{0} v_{ich} v_{J} + ξ^{+} (v_{ich} l_{J} + l_{ich} v_{J}) / \sqrt{2} + ξ^{+ +} l_{ich} l_{J}] + H . C .

$\begin{equation} f _{ ij} \left[ \xi ^0 \nu _i \nu _j + \xi ^+ \left( \nu _i l _j + l _i \nu _j \right) / \sqrt{2} + \xi ^{ + + } l _i l _j \right] + h.c. \end{equation}$

Das schwere Higgs interagiert auch mit dem SM-Higgs, $\Phi=(\phi^+,\phi^0)$ durch:

\begin{aligned} v_{ξ ϕ} & = λ_{3} (Φ^{†} Φ) (ξ^{†} ξ) + μ (ξ^{0} ϕ^{0} ϕ^{0} + \sqrt{2} ξ^{-} ϕ^{+} ϕ^{0} + ξ^{- -} ϕ^{+} ϕ^{+}) + H . C . \end{aligned}

$\begin{align} V_{\xi \phi} & = \lambda _3 (\Phi^\dagger \Phi )(\xi^\dagger \xi) +\mu \left( \xi ^0 \phi ^0 \phi ^0 + \sqrt{2} \xi ^- \phi ^+ \phi ^0 + \xi ^{ - - } \phi ^+ \phi ^+ \right) + h.c. \end{align}$

Nach der Integration des schweren Higgs nehmen die Yukawa-Wechselwirkungen die Form an,

\frac{F_{ich J} μ}{M^{2}} [ϕ^{0} ϕ^{0} v_{ich} v_{J} - ϕ^{+} ϕ^{0} (v_{ich} l_{J} + l_{ich} v_{J}) + ϕ^{+} ϕ^{+} l_{ich} l_{J}] + H . C .

$\begin{equation} \frac{f_{ij} \mu }{M ^2} \left[ \phi^0\phi^0 \nu_i\nu_j - \phi^+\phi^0 (\nu_i l _j +l_i \nu_j ) + \phi^+ \phi^+ l _i l _j \right] +h.c. \end{equation}$

Ist der Ersatz $\xi \rightarrow \frac{\mu}{M^2} \phi \phi$ (mit obskurem Vorzeichenwechsel) offensichtlich?

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BebopButUnsteady · Answer 1

Dies ist im Grunde eine Störungstheorie zweiter Ordnung. Wir betrachten Diagramme, in denen die äußeren Impulse viel kleiner als die Masse sind $M$ . In Feynmann-Diagrammen ist dann im Grunde der Propagator für das schwere Higgs $1/M^2$ . Dies ist ein kleiner Parameter, also der führende Beitrag zum, sagen wir, $\ell \ell \rightarrow \phi \phi$ Prozess ist nur ein Austausch von an auf Baumebene $\xi^{++}$ . Wenn ich versuche, mehr hinzuzufügen $\xi$ Partikel in den Prozess kostet mich das einen Faktor von $1/M^2$ , und das Einfügen weiterer Unterdiagramme sollte gerade einer Renormierung der Parameter bei niedrigen Energien entsprechen.

Bei niedrigen Energien hat die Theorie also nur eine quartische lokale Wechselwirkung mit der Größe $\mu f/M^2$ . Das Vorzeichen ergibt sich aus den Faktoren von $i$ im Baumebenendiagramm.

Sie erwähnen, dass das Zeichen von den Faktoren von kommt $i$ , aber entspricht nicht jede Interaktion einem S-Kanal-Diagramm und hat dasselbe $i$ Faktoren? Warum sollte die Lepton-Neutrino-Kopplung ein relatives Minuszeichen bekommen?
@JeffDror: Vielleicht bin ich dumm (und ich bin nicht an relativistische Berechnungen gewöhnt), aber bekommst du keinen Faktor von $i$ von jedem der Eckpunkte und ein anderer von der Green-Funktion? Das Ganze ist also $-i f\mu/M^2$
Ja, das ist richtig. Aber wenn ich das richtig verstehe, erwägen Sie a $\ell \ell \rightarrow \phi^+\phi^+$ heraus zu integrieren $\xi^{++}$ , Dann $\ell\nu\rightarrow\phi^+\phi^0$ heraus zu integrieren $\xi^{ + }$ und schlussendlich $\nu \nu \rightarrow \phi ^0 \phi ^0$ heraus zu integrieren $\xi ^0$ . Was sehr gut funktioniert, um die korrekten Ergebnisse zu reproduzieren. Allerdings weist das Ergebnis in der Zeitung die integrierten Yukawas mit einem negativen Vorzeichen für die aus $\phi ^+ \phi ^0 \nu _i l _j$ Interaktion. Daher bin ich mir nicht sicher, wie dies auch reproduziert werden kann. Aber vielleicht geht es nicht mit dem ``einfachen Weg''?
con't: Und jedes Diagramm scheint mir die gleichen Faktoren von zu geben $i$ .
Mein Fehler. Ich habe einfach nicht gesehen, dass ein Begriff ein negatives Vorzeichen hatte. Ich weiß nicht, warum es dort ist.
Sicher kein Problem. Nochmals vielen Dank für die klare Antwort.

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JeffDror

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