Wie integriere ich die WWW-Bosonenfelder?

In der klassischen Physik erhält man Bewegungsgleichungen durch Variation einer Aktion$S$. Beim Quantisieren betrachten wir ein Pfadintegral$Z\left[\varphi\right]=\int\mathcal{D}\varphi \text{e}^{iS\left[\varphi\right]}$, eine Funktion integral über eine Sammlung$\varphi$aller Felder, so dass$S\left[\varphi\right]$hängt nur davon ab$\varphi$und seine Derivate. Dann haben die Betreiber Mittel

$$\left\langle\mathcal{O}\right\rangle=\frac{\int\mathcal{D}\varphi\mathcal{O} \text{e}^{iS\left[\varphi\right]}}{\int\mathcal{D}\varphi \text{e}^{iS\left[\varphi\right]}}.$$ Da die Definition der funktionalen Integration noch in den Kinderschuhen steckt, ist der Ausgangspunkt die Verallgemeinerung der berühmten Identität $$\int_{\mathbb{R}^N} d^Nx\text{e}^{-\frac{1}{2}x^TAx+J^Tx}=\frac{\left(2\pi\right)^{N/2}e^{\frac{1}{2}J^2}}{\sqrt{\det A}}$$ für$N\times N$symmetrische invertierbare reelle Matrizen$A$. Unter der$N\to\infty$Grenze eines Integrationsmaßes, das mit einer Normierung entworfen wurde, die die Potenz von aufhebt$2\pi$erhalten wir ein funktionales Integral, auf das ich gleich noch zu sprechen komme. Lassen Sie uns zuerst feststellen, dass das Skalarprodukt$U^TV=\sum_i U_iV_i$mit einem Integral verallgemeinert, so ist das Ergebnis $$\int\mathcal{D}\varphi\text{e}^{\int\left(-\frac{1}{2} \varphi A\varphi+J\varphi\right)d^Dx}=\text{e}^{\frac{1}{2}J^2}\sqrt{\det D}$$ mit$D:=A^{-1}$für einen invertierbaren Operator$A$, was auch immer ein Operator "Determinante" sein mag! (Dies setzt voraus, dass a$D$-dimensionale Raumzeit, in der$\varphi$Leben. Der Betreiber$D$ist natürlich ein Propagator.) Ein ähnliches Ergebnis ist mit der Ersetzung erhältlich$A\to iA$, und wir können dies verwenden, um viele Integrale der Form zu betrachten$\int\mathcal{D}\varphi\text{e}^{i\int d^Dx\mathcal{L}\left[\varphi,\,J\right]}$, mit$\mathcal{L\left[\varphi,\,J\right]}$eine von den Feldern abhängige Lagrange-Dichte und (hier kommt ein weiterer physikalischer Unterschied) ein Strom$J$. Wenn ich sage, dass wir diese Integrale berücksichtigen können , meine ich, dass es jetzt möglich ist, Verhältnisse zu verwenden, um Operatormittelwerte zu berechnen. Als Beispiel, wenn$\mathcal{O}=e^{-aW^2}$für eine Konstante$a$und Feld$W$darin enthalten$\varphi$,$\left\langle\mathcal{O}\right\rangle$wird als Verhältnis zweier Integrale berechnet, und unter den richtigen Umständen heben sich die Determinanten hilfreich auf. Allgemeiner bleibt ein Verhältnis der Determinanten zweier Operatoren übrig, das wir behandeln können, indem wir das Matrixergebnis verallgemeinern $$\frac{\det \left(A+\epsilon\right)}{\det A}=\det \left(1+D\epsilon\right)\approx\exp\text{tr}D\epsilon$$ mit$\epsilon$"klein" zu einem funktionellen Ergebnis, $$\frac{\det \left(A+\epsilon\right)}{\det A}=\exp{\int d^D x D\epsilon}.$$ (Für Ihre Frage, das "Quadrat"$W^2:=W_\mu W^\mu$.) Beachten Sie auch, dass die Teile von$\phi$auf welche$\mathcal{O}$nicht abhängig muss weder im Zähler noch im Nenner integriert werden. Ebenso können wir "wegwerfen"$W$stattdessen bei der Berechnung des Mittelwerts einer Variablen, von der sie nicht abhängt.

Die 4-Fermion-Amplitude auf Baumebene, die Sie erhalten, wenn Sie den Propagator auf einen Punkt kollabieren, ist a$J_\mu^+ J^{\mu ~-}$Kontaktterm, die 4-Fermi-Wechselwirkung der 30er Jahre.

Mit dem Aufkommen funktionaler Integrale zum SM wurde es einfacher, den UV-Ursprung dieser Niederenergie-Effektivtheorie zu verstehen. Der relevante Teil der SM-Aktion, der zu diesem geladenen Strom beiträgt, ist Verstärker

$${\cal L}_{eff}= m^2_W W_{\mu}^+ W^{\mu ~-}+ \frac{g}{\sqrt 2}( W_{\mu}^+ J^{\mu -} +W^{\mu ~-} J_\mu^+) +O(p^2/M_W^2).\tag{1}$$ Da die W s in diesem Teil der Aktion keine Ableitungen haben, sind sie überflüssige Felder mit algebraischen Bewegungsgleichungen und können eliminiert werden, indem die funktionale Integration, die sie als Variablen beinhaltet, wie folgt direkt durchgeführt wird.

Vervollständige das komplexe Quadrat,

$${\cal L}_{eff} = m^2_W \left (W_{\mu}^+ +\frac{g}{\sqrt {2} m_W^2} J^{\mu~+}\right) \left(W_{\mu}^- +\frac{g}{\sqrt {2} m_W^2}J^{\mu~-} \right ) -\frac{g^2}{2m_W^2} J_{\mu}^{+} J^{\mu~-} .$$ Beachten Sie nun, dass der erste Term eine Verschiebung in der Definition der Ws darstellt , das heißt, sie können neu definiert werden, um die aktuellen Stücke zu absorbieren; über die Raumzeit integriert und im Exponenten des funktionalen Integrals steckend, beträgt der erste Term zwei Gaußsche, wenn man ihn in das ursprünglich „neue“, verschobene W ₁ , W ₂ auflöst ; Die funktionale Integration dieser Gauß-Operatoren bezüglich der verschobenen W s hinterlässt keine Spur der W s in diesem niederenergetischen Teil des Pfadintegrals. Sie wurden gemäß Ihrer Frage "ausintegriert".

Der einzige nutzbare Rest ihres Vorhandenseins ist der "konstante" (soweit es W Freiheitsgrade betrifft) zweite Term, die Strom-Strom-Wechselwirkung,$-\frac{2G_F}{\sqrt 2} J_{\mu}^{+} J^{\mu~-}$, wo man definiert$G_F\sqrt 2 \equiv g^2/4m_w^2=2/v^2$. Beachten Sie, dass Sie die gleiche Antwort von den rein algebraischen Bewegungsgleichungen erhalten würden${\cal L}_{eff}$, nämlich$W_\mu^{\pm}=-g J_\mu^{\pm}/\sqrt{2} m_w^2$; die Verwendung dieser zur Eliminierung der W s würde zu der gleichen Strom-Strom-Rest-Wechselwirkung führen.

(Übrigens war dies im Jahr 1933 im Wesentlichen die erste Anwendung der QFT: ihr Dreh- und Angelpunkt der Erzeugung und Vernichtung von Fermion-Spezies.)

Ein ganz analoges Verfahren gilt natürlich für die neutralen Stromamplituden mit Z -Austausch, mutatis mutandis.

Heuristisch gibt es zwei Möglichkeiten.

1. Im elektroschwachen Lagrange ersetzt man W durch seine klassische Lösung. Das heißt, Sie finden die Euler-Lagrange-Gleichung für W, lösen danach auf und setzen die Lösung in Lagrange ein. Dabei werden die W-Felder "herausintegriert".

2. Wenn in einem Feynman-Diagramm eine interne Linie des W-Bosons vorhanden ist, löscht man sie. Zum Beispiel beinhaltet das Baumebenendiagramm der Elektronenstreuung mit Neutrinos einen W-Propagator. Wenn Sie es löschen, erhalten Sie einen Vier-Punkte-Scheitelpunkt von Fermionen. In Bezug auf Lagrange haben Sie einen Operator mit vier Spinoren, was ein Operator der Dimension 6 ist. Deren numerischer Vorfaktor kann durch Anpassung der Streuamplitude festgelegt werden.