Skaleninvarianz in QFT?

Was mit fraktionaler Skalierungsdimension gemeint ist, ist genau das, was sagt: Gegeben eine Dilatation$x\mapsto\lambda x$, das Feld/den Operator$\mathcal{O}(x)$verhält sich wie

$$\mathcal{O}(\lambda x) = \lambda^h\mathcal{O}(x)$$ mit $h\in\mathbb{R}$eine möglicherweise gebrochene oder sogar irrationale Zahl.

Das Hauptbeispiel für Quantenfeldtheorien, in denen eine fraktionale Skalierungsdimension erscheint, sind konforme Feldtheorien , die immer skaleninvariant sind, da die Skalierung nur eine der konformen Transformationen ist. Es ist ein bisschen ungewöhnlich, dass eine interessante Theorie tatsächlich skaliert und nicht konform invariant ist. Was der Autor mit "Skalieren durch Bruchdimensionen" meint, ist einfach, dass Quantentheorien keine ganzen Zahlen haben müssen$h$. Hier ein "einfaches" Beispiel:

Betrachten Sie eine 2D-Theorie eines Majorana-Fermions$\psi$auf dem Zylinder$\Sigma = S^1 \times \mathbb{R}$. Die Aktion ist

$$S[\psi] = \int_\Sigma \bar\Psi\gamma^\mu\partial_\mu\Psi$$ mit $\Psi = (\psi \;\bar \psi)^T$. Es gibt eine konforme Abbildung zu der komplexen Ebene so dass $$S[\psi] = \int_\mathbb{C} \psi\bar\partial\psi + \bar\psi\partial\bar\psi$$ wobei das Integrationsmaß in beiden Fällen bereits invariant unter konformen (und anderen) Transformationen gewählt ist. Diese Theorie ist skaleninvariant genau dann, wenn unter $z\mapsto\lambda z$, $\bar z \mapsto \bar\lambda\bar z$¹ Die Felder verhalten sich wie $$\psi(\lambda z,\bar\lambda\bar z) = \lambda^{1/2}\psi(z,\bar z)\text{ and } \bar\psi(\lambda z,\bar\lambda\bar z) = \bar\lambda^{1/2}\psi(z,\bar z)$$ Wo $\frac{1}{2}$ist eindeutig eine gebrochene "Skalierungsdimension". In der vollständigen Quantenanalyse stellt sich jedoch heraus, dass es einen dritten unabhängigen Zustand gibt (was aufgrund der Zustandsfeldkorrespondenz von CFTs bedeutet, dass es ein drittes unabhängiges Feld gibt ), das eine Skalierungsdimension hat $\frac{1}{16}$. Dies liegt im Wesentlichen an der Möglichkeit, antiperiodische Randbedingungen für die Spinorfelder zu wählen.

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^{1 Es ist eine lästige Konvention zu schreiben$\bar\lambda$für den Faktor der zweiten Dilatation, obwohl es nicht das komplexe Konjugat von ist$\lambda$, genauso wie$\bar h$ist nicht das komplexe Konjugat von$h$im Folgenden}