Was verbietet außerdiagonale Elemente in den kinetischen Begriffen des Standardmodells?

Der allgemeinste Lagrange, der mit den Symmetrien übereinstimmt, hat tatsächlich einen nicht diagonalen kinetischen Term, aber der Punkt ist, dass Sie die Felder normalerweise so neu definieren können, dass der kinetische Term die Identität ist. Wie sich das auswirkt, hängt von den Feldern ab, an denen wir interessiert sind, dh ob es sich um Materiefelder oder Eichfelder handelt. Wir beginnen mit der Diskussion von Spin-1/2-Fermionen (die Situation für Skalare ist ähnlich) und diskutieren dann den komplizierteren Fall von Eichbosonen.

Fermionen

Betrachten Sie eine Eichtheorie mit einer Reihe von Feldern,$\psi _i$, mit der gleichen Ladung unter Eichsymmetrie. Mal sehen, wie sich das auswirkt. Der allgemeinste Lagrange, den Sie aufschreiben können, ist:

$$\begin{equation} {\cal L} = i \lambda _{ ij} \bar{\psi} _i \gamma ^\mu D _\mu \psi _j - m _{ ij} \bar{\psi} _i \psi _j \end{equation}$$ Das verlangt der Realitätszustand $\lambda$Und $m$sind beide hermitesche Matrizen. Wir können jederzeit eine Feldneudefinition durchführen, $\psi _i \rightarrow T _{ ij}\psi _j$. $$\begin{equation} {\cal L} \rightarrow ( T ^\dagger \lambda T ) _{ ij}\bar{\psi} _i \gamma ^\mu D _\mu \psi _j - ( T ^\dagger m T ) _{ ij} \bar{\psi} _i \psi _j \end{equation}$$ Für eine hermitische Matrix gilt: $\lambda$, ist es immer möglich, eine (nicht unitäre!) Transformation zu finden $T$so dass $T ^\dagger \lambda T$ist die Identität. Dies kann durch Aufspalten gesehen werden $T$bis in eine einheitliche Matrix, $U$, das diagonalisiert $\lambda$und eine Matrix $R$was gleich der Quadratwurzel der Umkehrung der Eigenwerte von ist $\lambda$:

$$\begin{equation} T ^\dagger \lambda T = R ^\dagger U ^\dagger \lambda U R = \sqrt{ \lambda _D ^{-1} } \lambda _{ D}\sqrt{ \lambda _D ^{-1} } = {\bf 1} \end{equation}$$ Wo $\lambda _D$wird als diagonalisiert definiert $\lambda$. Daher können wir schreiben, $$\begin{equation} {\cal L} \rightarrow i \bar{\psi} _i \gamma ^\mu D _\mu \psi _i - ( T ^\dagger m T ) _{ ij} \bar{\psi} _i \psi _j \end{equation}$$ Da die Matrix $T ^\dagger m T$völlig generisch ist, können wir es auch einfach umbenennen $M$geben die übliche Start-Lagrange, $$\begin{equation} {\cal L} = i \bar{\psi} _i \gamma ^\mu D _\mu \psi _i - M _{ ij} \bar{\psi} _i \psi _j \end{equation}$$

Aufgrund dieser Analyse könnte man meinen, dass wir die Grundlage vollständig festgelegt haben$\psi$und kann daher keine Feldneudefinitionen mehr vornehmen. Dies ist jedoch nicht der Fall. Der kinetische Term ist bei unitärer Transformation immer noch unveränderlich und daher haben wir immer noch die Freiheit, den zu drehen$\psi$Basis durch eine unitäre Matrix (was oft in der Diskussion der SM-Yukawa-Wechselwirkungen gemacht wird).

Felder messen

Eichfelder sind schwieriger, da es Symmetrien gibt, die verhindern, dass bestimmte Begriffe niedergeschrieben werden (die Eich- und Massenmatrizen sind oft nicht generisch). Dies führt zu subtilen Merkmalen.

Betrachten Sie eine Theorie mit mehreren U(1)'s:

$$\begin{equation} {\cal L} = - \frac{1}{4} \lambda _{ ij} F _{ \mu\nu } ^i F ^{ j\,\mu\nu } + i \bar{\psi} _f D _\mu \gamma ^\mu \psi _f + m _{ ij} ^2 A ^i A ^j \end{equation}$$ wo die kovariante Ableitung, $D ^\mu \psi ^f \equiv ( \partial ^\mu -i e _a ^f X _a ^\mu ) \psi ^f$, hat eine Summe über die Kopplungen zu den Eichfeldern. Beachten Sie, dass bei einer ununterbrochenen Eichsymmetrie ihre Massenterme verschwinden. Realität der Lagrange-Mengen $\lambda$reell und symmetrisch sein. Analog zum Fermion-Fall kann es durch eine orthogonale Transformation ( $O$) gefolgt von der Quadratwurzel der Inversen der Eigenwerte von $\lambda$, $T = O R$. Diese Matrix rotiert nun die verschiedenen Kupplungen, $$\begin{equation} {\cal L} = - \frac{1}{4} F _{ \mu\nu } ^i F ^{ i\,\mu\nu } + i \bar{\psi} _f ( \partial ^\mu - i e _a ^f T _{ ab} X _b ^\mu ) \gamma ^\mu \psi _f + ( T ^T m ^2 T ) _{ ij } A ^i A ^j \end{equation}$$ Wenn jetzt $m ^2 _{ ij}$Und $e _a ^f$Wären die allgemeinsten Begriffe möglich, wäre dies das Ende der Geschichte. Wir würden die Kopplung wie oben neu definieren und weitermachen. Für Eichfelder haben wir jedoch oft, dass eine oder mehrere dieser Symmetrien ungebrochen sind, und wir wollen es in einer Basis schreiben, die dies offensichtlich macht. Von hier aus ist es nicht offensichtlich, dass dies überhaupt möglich ist. Mal sehen, wie sich das auswirkt.

Die einzige Rotation, die wir ausführen können, wenn der kinetische Term invariant bleibt, ist eine orthogonale,$A ^\mu _i \rightarrow O' _{ ij} A _j ^\mu$. Dies ergibt einen Massenterm,

$$\begin{equation} {\cal L} _m \rightarrow ( O ^{ \prime T} T ^T m ^2 T O ' ) _{ij} A ^i A ^j \end{equation}$$ Da sich die Anzahl der Null-Eigenwerte nicht durch Multiplikation mit invertierbaren Matrizen ändert, ergibt die Diagonalisierung immer noch die gleiche Anzahl masseloser Vektoren, mit der wir begonnen haben (und daher hat die obige Diagonalisierung keine zusätzlichen U (1) gebrochen wie sie sollte nicht). Durchführen dieser Transformation: $$\begin{equation} {\cal L} _m \rightarrow M _i ^2 A ^i A ^i \end{equation}$$ Wo $M _i$sind die Eigenwerte der transformierten Vektoren (und sind nur für die gebrochenen Symmetrien ungleich Null).

Betrachten wir nun den kovarianten Ableitungsterm:

$$\begin{equation} {\cal L} \supset e _a ^f T _{ ab} O _{ b c}'X _c ^\mu \bar{\psi} _f \gamma _\mu \psi _f \end{equation}$$ Aufgrund der Massendiagonalisierung haben wir die Basis der Vektoren bereits vollständig fixiert und können daher nicht mehr herumdrehen. Die Fermionen bekommen zwangsläufig eine gewundene Eichkopplung, $$\begin{equation} g _c ^f \equiv e _a ^f T _{ ab} O _{ b c}' \end{equation}$$

Lassen Sie uns nun anhand eines relevanten Beispiels ein besseres Gefühl für diese Matrizen bekommen. Betrachten Sie den Fall von U(1)$\times$U(1) wo nur$1$U(1) ist defekt ($m _{11} ^2 = m _X ^2 , m _{ 12} ^2 = m _{ 21} ^2 = m _{ 2 2} ^2 = 0$) und wir haben eine kleine Mischung,$\lambda = \left( \begin{array}{cc} 1 & \epsilon \\ \epsilon & 1 \end{array} \right)$. Das ungebrochene (gebrochene) U(1) ist analog zum Photon (dunkles Photon). In diesem Fall ist es einfach, die relevanten Matrizen zu berechnen,

$$\begin{equation} T = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} ( 1 + \epsilon ) ^{ - 1/2} &0 \\ 0 & ( 1 - \epsilon ) ^{ - 1/2} \end{array} \right) \,,\quad O ' = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{cc} \sqrt{ 1 - \epsilon } & \sqrt{ 1 + \epsilon } \\ - \sqrt{ 1 + \epsilon } & \sqrt{ 1 - \epsilon } \end{array} \right) \end{equation}$$ was gibt, $$\begin{equation} T ^T \lambda T = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\,,\quad O^ { \prime T} T ^T m ^2 T O ' = \left( \begin{array}{cc} m _{ X} ^2 / ( 1 - \epsilon ^2 ) & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$$ Wenn wir nun ein Fermion betrachten, das anfänglich nur unter dem ununterbrochenen U(1) geladen ist, sehen wir, dass es eine Kopplung zum massiven Vektorzustand gewinnt: $$\begin{equation} {\mathbf{g}} ^{ ( 1 )}= O ^{ \prime T} T ^T \left( \begin{array}{c} 0 \\ e \end{array} \right) \simeq e \left( \begin{array}{c} - \epsilon \\ 1 \end{array} \right) \end{equation}$$ während Teilchen, die anfänglich nur unter dem massiven U (1) geladen wurden, keine Ladung für das ungebrochene U (1) erhalten: $$\begin{equation} {\mathbf{g}} ^{ ( 2 )}= O ^{ \prime T} T ^T \left( \begin{array}{c} e ' \\ 0 \end{array} \right) \simeq e' \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{equation}$$ Der erste Effekt ist praktisch der, der passiert, wenn Sie ein kinetisch gemischtes "dunkles Photon" betrachten: Sie haben eine Kopplung der Fermionen des Standardmodells an das dunkle Photon, die durch einen Mischungsparameter unterdrückt wird, $\epsilon$. Darüber hinaus sehen wir einen etwas nicht intuitiven Effekt, dass die Teilchen des dunklen Sektors unter dem Photon keine solche Ladung gewinnen.

Das detailliertere Beispiel für das reale Standardmodell wird dadurch kompliziert, dass der SM-Vektorzustand ($B$) ist eine Linearkombination einer massiven ($Z$) und masseloser Zustand ($\gamma$). Dies führt zu der Möglichkeit, dass die Teilchen des dunklen Sektors unter dem Elektromagnetismus eine Ladung gewinnen.

Der, auf den Sie hinweisen, wird nicht als kinetischer Begriff angesehen, sondern als Zweipunkt-Wechselwirkung zwischen den beiden Leptonfamilien.

Um die Physik zu verstehen, müssen Sie den kinetischen Term diagonalisieren, damit Sie verstehen können, was die unabhängigen Komponenten der Felder sind.

Wenn Sie den Higgs-Mechanismus kennen, ist dies analog zu der Tatsache, dass Sie die beiden Felder entkoppeln müssen, indem Sie zum einheitlichen Messgerät gehen. [Wenn Sie den Higgs-Mechanismus nicht kennen, ignorieren Sie diese Zeile]