Flavor-Symmetrien von Neutrino- und geladenen Lepton-Massenmatrizen

Die Symmetrien, die Sie betrachten, sind Geschmackssymmetrien. Diese mischen die drei Felder, die den verschiedenen Generationen oder Familien der Materie des Standardmodells entsprechen.

Bevor Massenterme hinzugefügt werden, gibt es a$U(3)^5$Flavor-Symmetrie im Standardmodell ohne rechtshändige Neutrinos. Das Hinzufügen von rechtshändigen Neutrinos fügt auch ein weiteres hinzu$U(3)$Symmetrie. Dies sind globale Neudefinitionen der Felder, wobei Linearkombinationen genommen und Phasen so hinzugefügt werden, dass die kinetischen Terme unveränderlich sind. Also jeder$U(3)$Faktor ist mit einem der grundlegenden Materiefelder des Standardmodells verknüpft, nämlich

• das linkshändige Quark-Dublett,
• rechtshändige Up-Quarks
• rechtshändige Down-Quarks
• das linkshändige Lepton-Dublett,
• rechtshändige Elektronen

und möglicherweise

• rechtshändige Neutrinos.

Da dies im Allgemeinen nur globale Symmetrien sind, müssen sie von den Massentermen nicht beachtet werden. Für allgemeine Yukawa-Matrizen, die$U(3)$Symmetrien können dann verwendet werden, um diese Matrizen zu vereinfachen. Zum Beispiel können wir im Quarksektor die verwenden$U(3)^3$Symmetrie, um eine Matrix durch eine bi-unitäre Transformation zu diagonalisieren. Der Versuch, dasselbe mit der anderen Yukawa-Matrix zu tun, würde einen Overall erfordern$U(3)^4$Symmetrie, die nicht da ist. Wir stecken mit einer einheitlichen Matrix fest, die verschiedene Masseneigenzustände in Wechselwirkungen mischt - die CKM-Matrix.

Im Lepton-Sektor sieht es ähnlich aus. Wir haben eine globale$U(3)^3$Symmetrie, die wir verwenden können, um die Massenmatrizen zu vereinfachen. Als Beispiel können wir die Freiheit nutzen, die rechtshändigen Elektronen und linkshändigen Lepton-Dubletts neu zu definieren, um die geladene Lepton-Massenmatrix gleich zu diagonalisieren. Damit bleibt uns nur die$U(3)$Symmetrie der rechtshändigen Neutrinos, um die Neutrinomassen insgesamt zu vereinfachen.

Wenn die Neutrinomassen nur aus einer Yukawa-Matrix mit winzigen Einträgen entstehen (was eine Möglichkeit ist), können wir wieder eine einheitliche Matrix erzeugen, die die Neutrinomischung regelt, die PMNS-Matrix.

Wenn es einen Wippenmechanismus gibt, gibt es tatsächlich zwei Matrizen, die in Neutrinomassen eingehen: Die Yukawa-Matrix, die eine allgemeine komplexe Matrix sein kann, und die Majorana-Massenmatrix, die symmetrisch sein muss.

$$\mathcal L_m \supset v_1 \nu_i \nu^c_j Y_\nu^{ij} + \nu^c_i \nu^c_j M_\nu^{ij}$$ Wir können die Majorana-Massenmatrix immer mit einer (komplexen) orthogonalen Transformation diagonalisieren, aber das frisst schon viel von unserer Freiheit, die Yukwa-Matrix zu vereinfachen.

Daher schränkt man manchmal die Form der Massenmatrix weiter ein$M_\nu$oder die Yukawa-Matrix$Y_\nu$. Wenn

$$G^T M_\nu G = M_\nu$$ für eine Gruppe von Transformationen $G$, das heißt, wir können diagonalisieren $M_\nu$und haben immer noch alle Transformationen $G$links, um die Yukawa-Matrix zu vereinfachen. Wenn wir weiter einige Symmetrien auferlegen $Y_\nu$, können wir sogar erreichen, dass die Mischmatrix im Neutrinosektor eingeschränkter ist als nur eine beliebige unitäre Matrix. Als Beispiel kann man einschränken $M_\nu$Und $Y_\nu$so dass die Mischmatrix die tri-bi-maximale Form hat.

Es kann etwas verwirrend sein, alle beteiligten Transformationen zu entwirren. Es hilft, zunächst zu verstehen, dass es a gibt$U(3)$Symmetrie für jedes fundamentale Fermion (das vor der elektroschwachen Symmetriebrechung masselos ist). Diese Symmetrien können dann verwendet werden, um die Massenmatrizen zu vereinfachen, ohne eine Familienmischung einzuführen. Sie reichen nicht aus, um alle erscheinenden Matrizen vollständig zu diagonalisieren, daher bleibt uns eine einheitliche CKM-Matrix.

Wenn wir die allgemeinsten Massenmatrizen nicht berücksichtigen, kann man eine spezifischere, einfachere Mischmatrix erhalten. Dies ist eine Modellannahme, obwohl sie oft durch ein Prinzip der Hochenergiephysik motiviert ist.

Anders ausgedrückt: Flavour-Symmetrien sind eigentlich die unitären Transformationen, die man durchführen kann, ohne die kinetischen Terme der Fermionen zu verändern. Sie können verwendet werden, um den Massenteil der Lagrangean zu vereinfachen. Der Begriff "Geschmackssymmetrie" wird jedoch manchmal missbraucht, um sich tatsächlich auf eine Symmetrie zu beziehen, die den Massentermen direkt auferlegt wird, bevor Rotationen im Feldraum durchgeführt werden.

EDIT zur Klarstellung: Die "Geschmackssymmetrie"

$$G^T M_\nu G = M_\nu$$ wird von Hand auferlegt und ist von vornherein unabhängig von der Freiheit, die Felder im Geschmacksraum zu drehen. Die Beziehung kommt ins Spiel, sobald Sie die Masseneigenzustände tatsächlich konstruieren wollen. Nur in diesem Schritt $G$wird eine restliche Freiheit, die Masseneigenzustände untereinander zu transformieren, ohne die Diagonalform der Majorana-Massenmatrix zu stören.

Sie könnten der Yukawa-Matrix genauso gut eine gewisse Symmetrie auferlegen. Die richtige Verallgemeinerung der obigen Gleichung wäre

$$G^{-1} Y G = Y.$$ Die Beschränkung auf die Transponierung $G^T$anstelle von $G^{-1}$kommt von der Symmetrie der Majorana-Massenmatrix, wodurch sie mit orthogonalen Matrizen diagonalisierbar ist, für die $G^T = G^{-1}$.