Was bedeutet es, Felder aus einer Theorie herauszuintegrieren?

Die „Integration“, auf die wir uns beziehen, wenn wir „schwere Felder herausintegrieren“, ist nichts anderes als das Feynman-Pfadintegral – eine Möglichkeit, Amplituden in einer Quantenfeldtheorie unter Verwendung der Summen-über-Geschichten zu berechnen. Wenn Sie über irgendeine andere Art von "Integral" nachgedacht oder sogar das Integral durch Kontraktionen oder willkürliche unterschiedliche Operationen ersetzt haben, mussten Sie am Ende zu verwirrenden (oder völlig falschen) Schlussfolgerungen kommen.

Das Feynman-Pfadintegral gibt Ihnen eine Formel für Greensche Funktionen und andere Amplituden

$$A = \int {\mathcal D}\phi_{\rm light} \,{\mathcal D}\phi_{\rm heavy}\,\exp(iS)\prod_{i}V_i$$ wo $V_i$sind einige Einfügungen in das Integral, die entsprechend der Wahl der zu quantifizierenden Größe (Amplitude) gewählt werden. Wir integrieren über alle Konfigurationen aller Bereiche etc. hinaus $\phi_{\rm heavy}$bedeutet, den Integrationsprozess in zwei Schritte aufzuteilen und zunächst über einige Freiheitsgrade zu integrieren, nämlich $\phi_{\rm heavy}$– das können viele Felder sein – für feste Werte der restlichen Felder, $\phi_{\rm light}$.

Das resultierende dh verbleibende Integral, das noch darauf wartet, über die verbleibenden Lichtfelder (ohne Einfügungen) integriert zu werden, wird interpretiert als$\exp(iS_{\rm effective})$wo$S_{\rm effective}$hängt nur von den leichten Freiheitsgraden ab$\phi_{\rm light}$.

$$A_\text{after integrating out} = \int {\mathcal D}\phi_{\rm light} \,\exp(iS_{\rm effective})\prod_{i}V_i,\\ \exp(iS_{\rm effective} [\phi_{\rm light}]) = \int {\mathcal D}\phi_{\rm heavy}\,\exp(iS)$$ Auf diese Weise eliminieren wir die schweren Freiheitsgrade und berechnen die effektive Aktion, die sich an alle Schleifeneffekte erinnert, die die heute vergessenen schweren Felder früher verursacht haben. Allerdings ist diese Effektivfeldtheorie mit einer effektiven Wirkung – ein Ergebnis der Herausintegration der schweren Felder – natürlich nur gut, um niederenergetische Fragen zu stellen. Die Einfügungen $V_i$wir können in die vereinfachte Theorie einfügen, dass nur davon abhängt $\phi_{\rm light}$Auf die schweren Freiheitsgrade kann man sich natürlich nicht mehr verlassen: Sie sind verschwunden.

Aber im Prinzip, wenn Sie das Wegintegral über die schweren Freiheitsgrade "exakt" berechnen, kann Ihnen die effektive Aktion ganz genaue Ergebnisse für die Streuung der Lichtfelder liefern, und so weiter. In der Praxis integrieren wir „ungefähr“ über die schweren Freiheitsgrade – wir gehen davon aus, dass die effektive Aktion nur einige niederdimensionale Operatoren enthält (die renormierbaren und vielleicht ein oder zwei zusätzliche Operatoren, die nicht renormierbar sind) und wir untersuchen, was passiert mit ihrem Koeffizienten. Wenn wir wollten, dass die effektive Aktion genau das gleiche Ergebnis für Observablen in Abhängigkeit von den verbleibenden Lichtfeldern liefert wie die ursprüngliche Aktion, müssten wir alles einbeziehen, und die effektive Aktion würde beliebig hochdimensionale nicht renormierbare Operatoren enthalten – äquivalent dazu nicht lokal sein.

Wenn Sie das Feynman-Pfad-Integral vermeiden müssen, sollten Sie das „Integrieren einer Reihe von Feldern“ interpretieren, indem Sie „die Dynamik für die verbleibenden Felder finden, die dieselben Wechselwirkungen oder Green-Funktionen für sie erzeugt wie in der ursprünglichen Theorie, die die enthielt jetzt integrierte Felder". Feynmans Ansatz gibt uns ein einfaches Werkzeug, um so etwas zu tun; Es könnte sehr schwierig sein, den richtigen Algorithmus in einem anderen rechnerischen Ansatz zur Quantenfeldtheorie abzuleiten.