Neuskalierung effektiver Hamilton-Kopplungskonstanten in der Wilsonain-Renormalisierungsgruppe

Question

Neuskalierung effektiver Hamilton-Kopplungskonstanten in der Wilsonain-Renormalisierungsgruppe

skz

Ich bin verwirrt über einen Aspekt der Kopplung der konstanten Neuskalierung im Verfahren der Wilsonschen Renormalisierungsgruppe. (Ich folge Kardars "Statistic Physics of Fields, Ch5). Ich glaube, ich verstehe die Grundidee der Renormalisierungsgruppe, aber ich bin im Grundstudium und habe weder Feldtheorie noch einen fortgeschrittenen Stat-Mech-Kurs belegt, also wenn ich es getan habe Irgendwo ein konzeptioneller Fehler, für Korrekturen wäre ich sehr dankbar.

Die Partitionsfunktion für den Landau-Ginzburg-Hamiltonian wird geschrieben als ( $\tilde{\vec{m}}(\mathbf{q}) \ \text{and }\sigma(\mathbf{q})$ sind die Aufspaltung des ursprünglichen Feldes in langsame und schnelle Komponenten)

\begin{aligned} Z & = \int D \tilde{\vec{M}} (Q) D σ (Q) \exp {- \int_{0}^{Λ} \frac{D^{D} Q}{(2 π)^{D}} (\frac{T + K Q^{2}}{2}) (| \tilde{M} (Q) |^{2} + | σ (Q) |^{2}) - U [\tilde{\vec{M}} (Q), σ (Q)]} \\ = \int D \tilde{\vec{M}} (Q) \exp {- \int_{0}^{Λ} \frac{D^{D} Q}{(2 π)^{D}} (\frac{T + K Q^{2}}{2}) (| \tilde{M} (Q) |^{2}} \exp {- \frac{N v}{2} \int_{Λ / B}^{Λ} \frac{D^{D} Q}{(2 π)^{D}} Protokoll (T + K Q^{2})} ⟨ e^{- U [\tilde{\vec{M}}, \vec{σ}]} ⟩_{σ} \end{aligned}

$\begin{align} Z &= \int D\tilde{\vec{m}}(\mathbf{q})D\sigma(\mathbf{q}) \exp{\bigg\{- \int_{0}^{\Lambda} \frac{d^d \mathbf{q}}{(2\pi)^d} \bigg( \frac{t + K q^2}{2} \bigg) (|\tilde{m}(\mathbf{q})|^2} + |\sigma(\mathbf{q})|^2)-U[\tilde{\vec{m}}(\mathbf{q}),\sigma(\mathbf{q})] \bigg\}\\ &= \int D\tilde{\vec{m}}(\mathbf{q}) \exp{\bigg\{- \int_{0}^{\Lambda} \frac{d^d \mathbf{q}}{(2\pi)^d} \bigg( \frac{t + K q^2}{2} \bigg) (|\tilde{m}(\mathbf{q})|^2}\bigg\} \exp{\bigg\{-\frac{nV}{2} \int_{\Lambda/b}^{\Lambda} \frac{d^d \mathbf{q}}{(2\pi)^d} \log(t + K q^2) \bigg\}} \bigg\langle e^{-U[\tilde{\vec{m}},\vec{\sigma}]}\bigg\rangle_{\sigma} \end{align}$ Ich glaube, ich verstehe das Gesamtverfahren: Integrieren Sie die Impulse über dem Cutoff heraus; die Impulse neu skalieren

q = b^{- 1} q^{'}

$\mathbf{q} = b^{-1} \mathbf{q}'$ und das Feld

\tilde{\vec{m}} = z {\vec{m}}^{'}

$\tilde{\vec{m}} = z {\vec{m}\,}'$ . Dann erhalten Sie den neuen Hamiltonian:

(β H)^{'} [M^{'}] = v (δ F_{B}^{0} + u δ F_{B}^{1}) + \int_{0}^{Λ} \frac{D^{D} Q^{'}}{(2 π)^{D}} B^{- D} z^{2} (\frac{\tilde{T} + K B^{- 2} Q^{' 2}}{2}) | M^{'} (Q^{'}) |^{2} + u B^{- 3 D} z^{4} \int_{0}^{Λ} \frac{D^{D} Q_{1}^{'} D^{D} Q_{2}^{'} D^{D} Q_{3}^{'} D^{D} Q_{4}^{'}}{(2 π)^{D}} \vec{M} (Q_{1}^{'}) \cdot \vec{M} (Q_{2}^{'}) \vec{M} (Q_{3}^{'}) \cdot \vec{M} (Q_{4}^{'}) δ^{D} (Q_{1}^{'} + Q_{2}^{'} + Q_{3}^{'} + Q_{4}^{'})

$(\beta H)'[m'] = V(\delta f_b^0 + u \delta f_b^1) + \int_{0}^{\Lambda} \frac{d^d \mathbf{q'}}{(2\pi)^d} b^{-d}z^2\bigg( \frac{\tilde{t} + K b^{-2} q'^2}{2} \bigg) |m'(\mathbf{q'})|^2 +u b^{-3d} z^4 \int_{0}^{\Lambda} \frac{d^d \mathbf{q}'_1 d^d \mathbf{q}'_2 d^d \mathbf{q}'_3 d^d \mathbf{q}'_4}{(2\pi)^d} \vec{m}(\mathbf{q}'_1)\cdot \vec{m}(\mathbf{q}'_2)\vec{m}(\mathbf{q}'_3)\cdot\vec{m}(\mathbf{q}'_4) \ \delta^d(\mathbf{q}'_1+\mathbf{q}'_2+\mathbf{q}'_3+\mathbf{q}'_4)$

bei dem die $t$ Ist

\tilde{T} = T + 4 u (N - 2) \int_{Λ / B}^{Λ} \frac{D^{D} \vec{k}}{(2 π)^{D}} \frac{1}{T + K k^{2}}

$\tilde{t} = t+4u(n-2) \int_{\Lambda/b}^{\Lambda} \frac{d^d \vec{k}}{(2\pi)^d} \frac{1}{t+K\ k^2}$

Dann wählen Sie $z=b^{1+\frac{d}{2}}$ so dass $K$ bleibt gleich: $K'=K, \ u' = b^{-3d} \ z^4 \ u, \ \text{and} \ t'= b^{-d} \ z^2 \ \tilde{t}$ .

Meine Frage ist: warum geht das nicht $u$ innen $\tilde{t}$ etwas werden $u'$ ? So wie ich es verstehe, ändern sich die Kupplungen mit dem Cutoff, also sollte das nicht der Fall sein $u$ durch ersetzt werden $u'$ wo es auftaucht? Wenn nein, warum nicht, und was ist die physikalische Bedeutung davon? (Ursprünglich hier gestellt, aber ich habe mich entschieden, es in separate Fragen aufzuteilen.)

Antworten (1)

Neuskalierung effektiver Hamilton-Kopplungskonstanten in der Wilsonain-Renormalisierungsgruppe

brink · Answer 1

Als Teil dieser Berechnung leiten Sie die Beziehung zwischen den Kopplungskonstanten des Modells im Grobmaßstab und im Originalmaßstab ab. Die Ergebnisse, die Sie erhalten,

K^{'} = K

$K' = K$

u^{'} = B^{- 3 D} z^{4} u,

$u' = b^{-3d} z^4 u,$

T^{'} = B^{- D} z^{2} (T + (N - 2) \int_{Λ / B}^{Λ} \frac{D^{D} \vec{k}}{(2 π)^{D}} \frac{1}{T + K k^{2}})

$t' = b^{-d} z^2 \left(t + (n-2)\int_{\Lambda/b}^\Lambda \frac{d^d\vec{k}}{(2\pi)^d} \frac{1}{t+K k^2}\right)$ sind die sogenannten Rekursionsbeziehungen zwischen den Parametern auf der ursprünglichen Feinskala (

K

$K$ ,

u

$u$ , Und

t

$t$ ) und die Parameter auf der Grobskala (

K^{'}

$K'$ ,

u^{'}

$u'$ , Und

t^{'}

$t'$ ). Sie ersetzen nicht

u

$u$ mit

u^{'}

$u'$ In

\tilde{t}

$\tilde{t}$ aus dem gleichen Grund, dass Sie die nicht ersetzen

t

$t$ mit

t^{'}

$t'$ . dh die rechten Seiten sind die alten Parameter bei der ursprünglichen Skala, die linken Seiten sind die neuen Parameter bei der vergröberten Skala.

Die gestrichenen Größen sind wirklich nur eine Umbenennung von Termen in Ihrem vergröberten Hamilton-Operator, so dass er mit dem ursprünglichen Hamilton-Operator übereinstimmt (bis auf Annäherungen); sie sind keine Änderung von Variablen. Die einzige Änderung der Variablen, die Sie tatsächlich durchführen, ist die Neuskalierung der Freiheitsgrade.

Falls es hilft zu verdeutlichen, was Sie während dieser Berechnung tatsächlich tun, werde ich auf den letzten Satz näher eingehen: Das Verfahren der Renormalisierungsgruppe besteht aus zwei verschiedenen Schritten: 1) Mitteln über (Ausintegrieren) statistischer Freiheitsgrade und 2) Bilden eine Änderung der Variablen an den verbleibenden Freiheitsgraden, um das System in seinem ursprünglichen Maßstab wiederherzustellen.

Ich stelle mir das gerne in Form von Wahrscheinlichkeitsverteilungen vor: wenn Sie eine multivariate Verteilung haben $p(m_1,m_2,\dots,\sigma_1,\sigma_2,\dots) \propto \exp(-H(m_1,m_2,\dots,\sigma_1,\sigma_2,\dots))$ , dann besteht der erste Schritt des Renormierungsgruppenverfahrens darin, die Variablen zu marginalisieren (zu mitteln). $\sigma_1,\dots$ um die Verteilung zu erhalten $p(m_1,m_2,\dots)$ . Anschließend definieren Sie einen neuen Satz neu skalierter Variablen $m_1',m_2',\dots$ , was eine neue Verteilung ergibt

P^{'} (M_{1}^{'}, M_{2}^{'}, \dots) = | \frac{\partial \vec{M}}{\partial \vec{M^{'}}} | P (M_{1} ({\vec{M}}^{'}), M_{2} ({\vec{M}}^{'}), \dots) \propto e^{- H^{'} (M_{1}^{'}, M_{2}^{'}, \dots)},

$p'(m_1',m_2',\dots) = \left|\frac{\partial \vec{m}}{\partial \vec{m'}} \right| p(m_1(\vec{m}'),m_2(\vec{m}'),\dots) \propto e^{-H'(m_1',m_2',\dots)},$ Wo

| \frac{\partial \vec{m}}{\partial \vec{m^{'}}} |

$\left|\frac{\partial \vec{m}}{\partial \vec{m'}} \right|$ ist die Jacobivariable der Variablenänderung (ich habe hier der Einfachheit halber kontinuierliche Variablen angenommen).

Oft ist diese Änderung von Variablen nur eine Neuskalierung $m' \sim z m$ (und der Jacobi fügt dem Hamiltonian daher keine wichtigen Terme hinzu). Danach ist die Definition der gestrichenen Kopplungskonstanten in gewissem Sinne nur noch eine Frage der Notationsbereinigung. Da wir erwarten, dass unser grobkörniger Hamiltonoperator in vielen Fällen mehr oder weniger die gleiche Form wie unser ursprünglicher Hamiltonoperator haben wird, ist es sinnvoll, neue Kopplungskonstanten zu definieren, damit die Form der beiden Hamiltonoperatoren oberflächlich ähnlich ist. zB wenn der paarweise Wechselwirkungsterm im ursprünglichen Hamilton-Operator wäre $J m_i m_j$ und der paarweise Term im vergröberten Hamilton-Operator ist $f(J,{\rm other~couplings}) m_i' m_j'$ , wir definieren $J' = f(J,{\rm other~couplings})$ .

Der folgende konzeptionelle Sprung ist, dass, wenn wir in der Lage sind, dieses Verfahren überhaupt durchzuführen und den vergröberten Hamilton-Operator zu zerdrücken, bis er wie der ursprüngliche Hamilton-Operator aussieht, nichts* uns daran hindert, dies immer wieder zu tun und a zu erhalten neuer Satz vergröberter vergröberter Kupplungen $J'' = f(J',{\rm other~couplings}')$ , was uns erlaubt, diese Beziehung zwischen den Kopplungen als Rekursionsbeziehung auf verschiedenen Skalen zu interpretieren. (*Wichtiger Vorbehalt: Wenn es nur eine endliche Anzahl von Freiheitsgraden gibt, dann können wir dieses Verfahren nur eine endliche Anzahl von Malen durchführen).

Vielen Dank für deine Antwort, sie ist sehr hilfreich. Ich vermutete, dass so etwas der Fall war und der Grund für meine Verwirrung war. Der Vorschlag, über Verteilungen nachzudenken, ist großartig! Könnt ihr mir auch bei Teil 2 meiner Frage hier weiterhelfen ? Ich möchte die 'Freie Energie' schreiben als $Z' = \int Dm'(\mathbf{q}) e^{(\beta H_{gaussian})'[m'] + U'[m']} \rightarrow F_{gaussian} + F_{corrections}$ kann aber nicht sehen, wie man das Protokoll erweitert (integral). Danke noch einmal!
Entschuldigung, ich habe vergessen, den Link zu meiner ursprünglichen Frage zu setzen: physical.stackexchange.com/questions/552497/…

Neuskalierung effektiver Hamilton-Kopplungskonstanten in der Wilsonain-Renormalisierungsgruppe

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