Renormierung und Brownsche Bewegung

Ich habe von Peskin & Schroeder über die Renormalisierungsgruppe in QFT gelesen und wollte das Verständnis des "irrelevanten Operators" festigen, indem ich ihn mit etwas Intuitiverem, auch bekannt als Brownsche Bewegung, verbinde. Ich wäre besonders an Referenzen interessiert, die Analogien zwischen stochastischen Prozessen und (statistischer oder Quanten-) Feldtheorie und der Renormalisierungsgruppe untersuchen.

Mein Verständnis der Brownschen Bewegung ist, dass die "IR" - oder "grobkörnige Theorie" durch eine Diffusionsgleichung gut beschrieben wird:

$${\partial \over \partial t} f(x, t) - D {\partial^2 \over \partial^2 x} f(x, t) = 0$$

Wo$f(x,t)$würde eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion darstellen. Die Konstante D ist ein endlicher Wert "Kopplungskonstante", gemessen im IR im Labor, und modelliert perfekt die IR-Physik.

Irrfahrt als Modell für die Brownsche Bewegung

Hier ist ein diskretes Zeitmodell für die obige Diffusionsgleichung:

$$x(t_{n+1}) = v \times n(t_n) \Delta t + x(t_n)$$

$v$ist die UV-"Kopplung" und$n(t_n)$ist ein Satz von IID-Zufallsvariablen.

Im obigen Modell, wenn wir tief in das UV eintauchen, ist die Geschwindigkeit zur korrekten Modellierung endlich$D$in den IR-Skalen als${D \over \sqrt{\Delta t}}$, wegen des zentralen Grenzwertsatzes. Wir wissen daher, dass unser physikalisches Modell nicht auf beliebige Zeitskalen korrekt sein kann, daher ist die Geschwindigkeit, die die Brownsche Bewegung im IR (oder die Kopplungskonstante) erzeugt, ein "irrelevanter Operator".

Fragen)

Ist dieses Modell ein Beispiel für die Arbeit der Renormalisierungsgruppe?
Wenn ja, was ist der irrelevante Operator? Wie zeigt sich der Grad der oberflächlichen Divergenz? (mein Bauch sagt die Dimensionalität der Geschwindigkeit im diskreten Zeitmodell). Welche Art von "Schleifenkorrekturen" für den RG-Fluss können wir in ein so einfaches physikalisches Modell auf verschiedenen Zeitskalen (auch bekannt als anomale Dimensionen) einbauen?

Kommentar & Diskussion

Ich bin mir bewusst, dass der Random Walk eine Pfadintegrallösung im Kontinuum hat. Wenn ich die zufällige Wanderung eines Punktteilchens auf eine zufällige Feldgröße verallgemeinere (die Observable ist jetzt eher ein statistisches Feld in Raum / Zeit als eine Koordinate). Wie hängt dies mit der Renormalisierungsgruppe zusammen?

Danke schön!