Kritische Exponenten und Skalierungsdimensionen aus der RG-Theorie

In den meisten Büchern (wie dem von Cardy) werden beispielsweise Beziehungen zwischen kritischen Exponenten und Skalierungsdimensionen angegeben

a = 2 − D / j T , v = 1 / j T , β = D − j H j T
usw. Hier j T Und j H sind Skalierungsdimensionen von Skalierungsvariablen u T Und u H bezogen auf (reduzierte) Temperatur T und Feld H . Dies wird immer im Zusammenhang mit dem Ising-Modell diskutiert. Ich bin verwirrt darüber, was j T Und j H sind im Allgemeinen? Im Allgemeinen haben Sie Skalierungsdimensionen j 1 , j 2 … j N für die Skalierungsfelder u 1 , u 2 , … u N , wo es nicht klar ist, was j T Und j H Sind. In Fällen, in denen das RG „diagonal“ ist, T Und H selbst Skalierungsvariablen sind, besteht das Problem nicht, aber das ist nicht die allgemeine Situation.

Zum Beispiel die RG-Gleichung des XY-Modells in D = 2 + ϵ Ist

D T D l = − ϵ T + 4 π 3 j 2 , D j D l = ( 2 − π T ) j ,
Wo T ist die Temperatur und j hängt mit der Wirbelflüchtigkeit zusammen. Es gibt einen endlichen Temperaturfixpunkt für T ⋆ = π / 2 . Stellen Sie sich vor, wir wollen rechnen v Und a an diesem nichttrivialen Fixpunkt. Indem wir das Obige am Fixpunkt linearisieren, erhalten wir etwa zwei Dimensionen j 1 Und j 2 für zwei Skalierungsvariablen u 1 Und u 2 . Diese Variablen sind beide Linearkombinationen von T Und j . Woher weiß ich, welche Skalierungsdimension/Eigenwert dem thermischen Eigenwert entspricht? j T ? Was sind die Werte von a Und v ?

Antworten (1)

Das OP hat Recht mit den Kupplungen G 1 , G 2 ,... Parametrierung der Feldtheorie sind im Allgemeinen Kombinationen der Skalierungsfelder der RG-Fixpunkte u 1 , u 2 ,...

Im Ising-Modell die beiden relevantesten Skalierungsfelder u 1 Und u 2 kann mit der Temperatur in Verbindung gebracht werden T und das Magnetfeld H . Allerdings liegt der OP falsch, wenn er das sagt u 1 Und u 2 sind diagonal (was bedeutet, dass u 1 = T , u 2 = H ). Tatsächlich wird im Allgemeinen jede Kopplung, die die Ising-Symmetrie respektiert, eine Projektion auf haben u 1 , wohingegen alle Kopplungen, die die Symmetrie brechen, eine Komponente haben werden u 2 . Das bedeutet zum Beispiel, dass man den Übergang grundsätzlich nicht durch Veränderung vorantreiben kann T in der bloßen Aktion, sondern durch Veränderung der Interaktion λ . In diesem Fall divergiert die Korrelationslänge als | λ − λ C | − 1 / j T . Dies geschieht jedoch normalerweise nicht bei mikroskopischen Modellen und wird daher in den meisten Büchern nicht behandelt.

Die Verwirrung entsteht, weil man normalerweise in der Störungstheorie arbeitet, wo sehr wenige Kopplungskonstanten beibehalten werden, was eine Projektion des gesamten Flusses auf einen sehr kleinen Unterraum des wahren Raums aller Kopplungskonstanten impliziert.

Bezüglich der Strömungsgleichung des XY-Modells in der Nähe von zwei Dimensionen sollte man beachten, dass wir hier nur ein relevantes Feld (das man natürlich mit der Temperatur assoziiert, da es der experimentell einstellbare Parameter ist) haben u 1 da es die XY-Symmetrie bewahrt j T ist also der Wert des positiven Eigenwerts, der Abweichungen vom Fixpunkt zugeordnet ist (man rechnet dann v Und A l P H A aus den vom OP angegebenen Gleichungen). Es gibt hier kein symmetriebrechendes Feld, also sieht man den Effekt nicht u 2 , und sein Eigenwert j H . Stattdessen ist die andere Richtung irrelevant (ebenfalls einem symmetrischen XY-Feld zugeordnet), wobei der Eigenwert nur zur Korrektur der Skalierung beiträgt.

Vielen Dank, das klärt viele kleine Verwirrungen für mich auf.
Nur eine Sache, wenn Sie mehrere relevante nicht symmetriebrechende Felder haben G 1 , G 2 , … woraus sich dann ergibt u 1 , u 2 … mit den Skalierungen j 1 , j 2 , … . Bedeutet das für alle G ich , die Korrelationslänge divergiert als | G ich − G ich C | − v ich , mit unterschiedlichen v ich ? Wenn ja, woran erkennt man welche j entspricht diesem v ?
Das allgemeinste Verhalten der Korrelationslänge kann geschrieben werden als |u_1-u_1^c|^{-\nu_1}f(|u_2-u_2^c|^{-\nu_2}|u_1-u_1^c|^{\ nu_1},...), während die Beziehung zwischen den g's und u's im Prinzip sehr kompliziert sein kann. Bei allen Beispielen, die ich kenne, kann man sich meistens nachvollziehen u 1 Und u 2 auf zwei unabhängige physikalische Parameter und es gibt keine Zweideutigkeit: Sie definieren einen Exponenten für jeden abstimmbaren Parameter, und Sie sind gut (es ist nur eine Frage der Konventionen). Siehe zum Beispiel journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.28.675
Kritische Exponenten und Skalierungsdimensionen aus der RG-Theorie
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