Was ist der Unterschied zwischen Skaleninvarianz und Selbstähnlichkeit?

Aus Sicht der nichtlinearen Dynamik, wo Selbstähnlichkeit eine wichtige Rolle spielt, wenn der Attraktor ein Fraktal ist, würde ich sagen, dass der Unterschied einer zwischen kontinuierlichen und diskreten Transformationen ist.

Eine selbstähnliche Transformation wie die, die die Cantor-Menge oder das Sierpinski-Dreieck erzeugt, verläuft in diskreten Stufen. Das Fraktal, das die Grenze bei der Anzahl der Stufen darstellt$N$strebt gegen unendlich zeigt Selbstähnlichkeit (dh ist mit sich selbst identisch) nur für eine diskrete Anzahl von Stufen.

Beim Zoomen zum Beispiel auf das Sierpinski-Dreieck darf man nirgendwo und um keinen Zoomfaktor zoomen. Man muss nur mit einem Faktor zoomen$1/3$und zentrieren Sie den Zoom auf der Symmetrieachse des Dreiecks. Die Anzahl selbstähnlicher Objekte ist also im Grunde eine ganze Zahl und hat als Merkmal die Selbstähnlichkeitsdimension, die eine Zahl ist$D$wie zum Beispiel$N = L^D$wo$N$ist die Anzahl der Kopien, die durch Ändern der Größe um erzeugt werden$L$.

Was die Skaleninvarianz betrifft, die nicht so häufig verwendet wird, ist dies eine Aussage$f(\mu x) = \mu^D \, f(x)$mit etwas Konstante$D$. Die Eigenschaft ist kontinuierlich und wahr für alle$x$. Fraktale Attraktoren sind im Allgemeinen nicht exakt skaleninvariant - sie haben oft 2 oder mehrere unterschiedliche Skalierungen.

Daher können aus dieser Sicht die Selbstähnlichkeit und Skaleninvarianz für einfache Fraktale, die einen eindeutigen Skalierungsfaktor haben, nur in einer diskreten Anzahl von Punkten identisch sein. (Mir ist bewusst, dass dies keine Spingitter anspricht, aber es beantwortet die Frage im Rahmen der Chaostheorie.)

Die Diskussion p. 24 über Renormalonen von Rosten scheint mir überhaupt nichts mit der Frage der Skaleninvarianz zu tun zu haben. Was den auf den Seiten 8-9 angeht, denke ich, dass dies nur eine Bemerkung am Rande über typische Spinkonfigurationen am kritischen Punkt ist. Lassen Sie mich präzise Definitionen geben, um zu erklären, was in der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie vor sich geht.

Nehmen wir zum Beispiel das nächstgelegene Nachbar-Ising-Modell in der Dimension$d\ge 2$. Dies ist eine Sammlung von Wahrscheinlichkeitsmaßen$\mu_{\beta,h}$auf dem Platz$\Omega=\{-1,1\}^{\mathbb{Z}^d}$die von den beiden Parametern abhängt, die durch die inverse Temperatur gegeben sind$\beta\in [0,\infty)$und das Magnetfeld$h\in\mathbb{R}$. Der kritische Fall, auf den die Äußerung des „falschen Bildes“ von Rosten zutrifft, ist der Einzelfall$\beta=\beta_{\rm c}$und$h=0$. Die Bemerkung bezieht sich auf eine geometrische Eigenschaft$P(\sigma)$einer Spinkonfiguration$\sigma=(\sigma_{\mathbf{x}})_{\mathbf{x}\in\mathbb{Z}^{d}}\in\Omega$. Hier das Grundstück$P(\sigma)$ist so etwas wie "die Konfiguration$\sigma$hat all diese verschachtelten Ozeane/Inseln mit Auf- und Abwirbelungen".$P(\sigma)$ist wahr$\mu_{\beta_{\rm c},0}$-fast sicher. Dies gehört zum Kapitel über das starke Gesetz der großen Zahlen in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Jetzt das Grundstück$P(\sigma)$hat definitiv einen "selbstähnlichen" Geschmack, aber ich würde das überhaupt nicht als Skaleninvarianz bezeichnen. Letzteres hat mit einem anderen Kapitel zu tun, nämlich dem über den Zentralen Grenzwertsatz .

Lassen Sie mich nur im Einphasenbereich arbeiten$\beta\le \beta_{\rm c}$. Dann ist das allgemeine Bild das für alle$\beta, h$Sie können eine Menge finden$[\phi]_{\beta,h}$für die folgendes passiert. Wählen Sie eine feste ganze Zahl$L>1$. Für jede ganze Zahl$n\ge0$Definiere ein Wahrscheinlichkeitsmaß$\nu_{\beta,h,L,n}$auf dem Raum der gemäßigten Verteilungen$S'(\mathbb{R}^d)$als Gesetz der Zufallsverteilung$\phi_n(x)$gegeben von

$$\phi_{n}(x)=L^{-n(d-[\phi]_{\beta,h})}\sum_{\mathbf{y}\in\mathbb{Z}^d} (\sigma_{\mathbb{y}}-\langle \sigma_{\mathbb{y}}\rangle)\ \delta^d(x-L^{-n}\mathbf{y})$$ mit$\sigma$nach dem Gittermaß abgetastet$\mu_{\beta,h}$, und wo die Magnetisierung$\langle \sigma_{\mathbb{y}}\rangle$ist die Erwartung eines einzelnen Spins für dieses Maß. Dann ist die$\phi_n$sollte in der (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung gegen eine zufällige (Schwartz-)Verteilung mit Gesetz konvergieren$\nu_{\beta,h,L,\infty}$. Allein aus der Existenz und Eindeutigkeit dieser Grenze folgt das Grenzgesetz oder die Skalierungsgrenze$\nu_{\beta,h,L,\infty}$bezüglich der Gruppe skaleninvariant ist$L^{\mathbb{Z}}$, dh Neuskalierung durch Potenzen von$L$(auch die lineare Größe eines Blocks in einem Block-Spin-RG-Verfahren). Dies ist eine diskrete Skaleninvarianzeigenschaft (bezogen auf Stans Antwort). Tatsächlich erwartet man hier, dass dies für jeden gilt$L$und somit$\nu_{\beta,h,L,\infty}$sollte gegenüber der vollen multiplikativen Gruppe unveränderlich sein$(0,\infty)$. Mit anderen Worten, es sollte die Eigenschaft der kontinuierlichen Skaleninvarianz haben. Übrigens wird der Unterschied zwischen diskreten und kontinuierlichen Skaleninvarianzen beispielsweise in dieser Übersicht von Sornette diskutiert . Kontinuierliche Skaleninvarianz bedeutet in unserer Situation insbesondere, dass die Zweipunktfunktion erfüllt ist $$\langle\phi(\lambda x)\phi(\lambda y)\rangle=\lambda^{-2[\phi]_{\beta,h}}\langle\phi(x)\phi(y)\rangle$$ für alle$\lambda\in (0,\infty)$.

Jetzt ist die entscheidende Frage: Wie pflücken Sie die entscheidende Menge?$[\phi]_{\beta,h}$(die Skalierungsdimension des Spinfelds) benötigt, um die Skaleninvarianz zu sehen?

Zum$d=2$, hat man$[\phi]_{\beta_{\rm c},0}=\frac{1}{8}$und die Grenze$\nu$ist nicht Gaußsch: die$m=3$Einheitliche minimale konforme Feldtheorie.

Zum$d\ge 4$, hat man$[\phi]_{\beta_{\rm c},0}=\frac{d-2}{2}$und die Grenze ist das masselose Gaußsche Feld.

Die interessanteste Situation ist$d=3$wo nach den besten gegenwärtigen Schätzungen$[\phi]_{\beta_{\rm c},0}\simeq 0.5181489$(siehe diesen Artikel ).

Jetzt in jeder Dimension und wann$(\beta,h)\neq (\beta_{\rm c},0)$hat man$[\phi]_{\beta_{\rm c},0}=\frac{d}{2}$. In diesem Fall wird die Grenze als Gaußsches weißes Rauschen bezeichnet. Die Zweipunktfunktion sollte gradhomogen sein$-d$. Dies könnte darauf hindeuten, dass es durch gegeben werden sollte

$$\langle\phi(x)\phi(y)\rangle\sim \frac{1}{|x-y|^d}$$ aber das ist falsch. Das einzigartige rotationsinvariante Element von$S'(\mathbb{R}^d)$(bis auf multiplikative Konstante) mit Homogenität des Grades$-d$ist$\delta^d(x)$. Man befindet sich wirklich in einem zentralen Grenzregime, wo man eine Summe dividiert$N=L^{nd}$echte Zufallsvariablen durch$\sqrt{N}$. Schließlich, wenn statt des richtigen Ratens für$[\phi]_{\beta,h}$man verwendet eine Zahl$\alpha>0$und schreibt $$\phi_{n}(x)=L^{-n(d-\alpha)}\sum_{\mathbf{y}\in\mathbb{Z}^d} (\sigma_{\mathbb{y}}-\langle \sigma_{\mathbb{y}}\rangle)\ \delta^d(x-L^{-n}\mathbf{y})$$ dann passiert folgendes. Wenn$\alpha<[\phi]_{\beta,h}$, es gibt zu viel Unterdrückung und die$\phi_n$in der Verteilung gegen das (nicht zufällige) identische Nullfeld konvergieren. Wenn$\alpha>[\phi]_{\beta,h}$es gibt einen Verlust der Enge, dh die Wahrscheinlichkeit, dass die Masse ins Unendliche und die Grenze des entweicht$\phi_n$ist nicht vorhanden. Auch dies ist wie der zentrale Grenzwertsatz, wenn Sie nicht durch die richtige Potenz von dividieren$N$, nämlich$\sqrt{N}$.

Übrigens, so ziemlich alles, was ich oben gesagt habe, wird durch strenge mathematische Beweise untermauert. Zum Beispiel der Fall$(\beta,h)\neq(\beta_{\rm c},0)$mit Konvergenz zu weißem Rauschen folgt aus einem allgemeinen Ergebnis von Newman für FKG-Systeme . Zum$d=2$und$(\beta,h)=(\beta_{\rm c},0)$, dies ist in den neueren Arbeiten von Chelkak, Hongler und Izyurov , Dubédat , sowie Garban und Newman . Natürlich ist der wichtigste offene Fall$d=3$und$(\beta,h)=(\beta_{\rm c},0)$, dh die berüchtigte 3D-Ising-CFT. Soweit ich weiß, ist das bisher beste rigorose Ergebnis (siehe diese jüngsten Vorträge von Duminil-Copin ) das at$(\beta,h)=(\beta_{\rm c},0)$die Zweipunktfunktion erfüllt

$$\frac{c_2}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^{2}}\le \langle \sigma_{\mathbf{x}}\sigma_{\mathbf{y}}\rangle\le \frac{c_1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}$$ für kommen positive Konstanten$c_1,c_2$, wenn die eigentliche Vermutung eher ähnlich ist $$\langle \sigma_{\mathbf{x}}\sigma_{\mathbf{y}}\rangle \sim \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^{1.0362978}}\ .$$