Es wird oft behauptet, dass Punkte im Raum von Quantenfeldtheorien, für die alle Parameter unter Renormierung invariant sind – also Fixpunkte der RG-Evolution – skaleninvariante Feldtheorien sind. Sicherlich sollte dies eine notwendige Bedingung sein, da die Theorie auf allen Skalen gleich aussehen muss. Allerdings habe ich Zweifel, ob das ausreicht.
In der klassischen Theorie gibt es keinen Begriff der Renormierung, aber wir können trotzdem von skaleninvarianten Theorien sprechen; diese Theorien besitzen eine globale Dilatationssymmetrie. Theorien mit inhärenten Massenskalen, wie z Theorie mit einem quadratischen Term ungleich Null, sind nicht klassisch konform, weil ihnen eine solche Symmetrie fehlt. Mir scheint, dass das Verschwinden (oder vielleicht Aufblasen?) solcher dimensionalen Kopplungen auch eine Bedingung sein muss, die einer Quantenfeldtheorie auferlegt werden muss , wenn wir wollen, dass sie skaleninvariant ist.
Meine Frage ist dann: Sind die dimensionalen Kopplungen aller Fixpunkte im RG-Fluss notwendigerweise trivial? Ist es unmöglich, dass ein RG-Fixpunkt eine Massenskala hat? in seinem Lagrange?
Meines Erachtens lautet die Antwort entweder ja , in diesem Fall reicht es aus, an einem festen Punkt zu sein, um Skaleninvarianz zu garantieren, oder die Antwort ist nein , in diesem Fall müssen wir auch eine zusätzliche Anforderung an unsere Theorien stellen, wenn wir dies wünschen sie als konform, über das Verschwinden aller Beta-Funktionen hinaus
Nein, maßhaltige Kupplungen müssen an einem RG-Festpunkt nicht alle auf Null gesetzt werden. Ein RG-Fixpunkt ist einer, bei dem alle Beta-Funktionen verschwinden und Beta-Funktionen im Allgemeinen die Form haben
In einer Quantenfeldtheorie müssen wir Schleifendiagramme berücksichtigen, die Terme höherer Ordnung liefern . Dann sind die Nullstellen der Beta-Funktionen völlig anders; Die masselose freie Theorie bleibt ein Fixpunkt, der als Gaußscher Fixpunkt bezeichnet wird, aber masselos ist Die Theorie erwirbt eine Massenskala durch dimensionale Transmutation. Dieser Prozess kann aber auch umgekehrt funktionieren. In diesem Fall gibt es einen neuen Fixpunkt, den Wilson-Fisher-Fixpunkt, bei dem der klassische Massenterm ungleich Null ist. Dies ist eine dimensionale Transmutation, die rückwärts läuft; die Masse renormiert auf genau Null.
Wenn alle Kopplungen Null sind, dann sitzt man auf dem trivialen Gaußschen Fixpunkt. Ein Fixpunkt zu sein, ist durch das Verschwinden der Beta-Funktionen (einige Ableitungen der Kopplungen als Skalenfunktionen) gekennzeichnet, nicht durch das Verschwinden der Kopplungen selbst.
Außerdem impliziert Skaleninvarianz im Allgemeinen keine konforme Invarianz. Sie brauchen etwas Zusätzliches wie einen spurlosen Energie-Impuls-Tensor. Die Untersuchung dieses Problems ist ein aktives Forschungsgebiet, siehe die Übersicht "Skaleninvarianz vs. konforme Invarianz" von Nakayama.
QMechaniker