Die Beziehung zwischen kritischer Oberfläche und dem (Renormierungs-)Fixpunkt

In dem Buch habe ich einige Bemerkungen über die Kritikalität gelesen:

Iterationen der Renormierungs-(Gruppen-)Karte erzeugen eine Folge von Punkten im Kopplungsraum, die wir Renormierungsgruppentrajektorie nennen. Da die Korrelationslänge um einen Faktor reduziert wird B < 1 Bei jedem Schritt neigt eine typische Renormalisierungsgruppen-Trajektorie dazu, das System von der Kritikalität wegzubringen. Da die Korrelationslänge am kritischen Punkt unendlich ist, sind unendlich viele Iterationen erforderlich, um diesen Punkt zu verlassen. Im Allgemeinen ist ein System nicht nur an einem bestimmten Punkt im Kopplungsraum kritisch, sondern auf einer ganzen „Hyperfläche“, die wir die kritische Fläche oder manchmal die kritische Linie nennen.

Ich finde diese Bemerkungen in Ordnung. Aber dann geben die Autoren ein Statement ab:

Die kritische Oberfläche ist die Menge von Punkten im Kopplungsraum, deren Trajektorien der Renormierungsgruppe am Fixpunkt enden:

lim N → ∞ T N ( J ) = J C ,
Wo T ist die Renormierungsgruppenkarte und J stellt die Kupplungen im Allgemeinen dar.

Die Frage ist, wie ist diese Aussage richtig zu verstehen? Dazu habe ich vor allem zwei kleine Fragen. Warum muss die kritische Linie den Fixpunkt treffen? Und warum muss die kritische Linie am Fixpunkt enden, anstatt den Fixpunkt unter der Renormierungsgruppentransformation zu verlassen?

Antworten (2)

Ich werde versuchen zu erklären, warum es eine kritische Linie und nicht nur einen kritischen Punkt geben könnte, und hoffentlich wird das Ihre Frage beantworten. Wenn Sie an das Ising-Modell denken, haben wir den Standard-Hamiltonoperator:

− β H = J 1 ∑ < ich , J > S ich S J + H ∑ ich S ich
Wo ∑ < ich , J > ist eine Summe über nächste Nachbarn. Dieses Modell hat einen festen Punkt bei einem kritischen Wert von J 1 Und H . Einfache Verallgemeinerungen des Ising-Modells könnten Wechselwirkungen zwischen den nächsten Nachbarn sowie den nächsten Nachbarn umfassen

− β H = J 1 ∑ < ich , J > S ich S J + J 2 ∑ ( ich , J ) S ich S J + H ∑ ich S ich

Wo ( ich , J ) zeigt die nächstnächsten Nachbarpaare an. Dieses Modell kann auch für bestimmte Werte von kritisch sein J 1 Und J 2 und diese Punkte liegen auf einer kritischen Linie. Dies macht intuitiv Sinn, weil J 1 Und J 2 erfassen eindeutig ähnliche physikalische Effekte (beide neigen die Spins zur Ausrichtung) und sind daher etwas redundant.

Es ist wichtig zu erkennen, dass der kritische Punkt tatsächlich in einem höherdimensionalen Raum existiert { J } . Punkte auf der kritischen Linie (oder Oberfläche) enden alle am kritischen Punkt unter iterierten RG-Transformationen. Der Grund dafür ist, dass Punkte, die willkürlich nahe an der kritischen Oberfläche liegen, unter der RG-Transformation willkürlich nahe am kritischen Punkt landen und dann alle auf die gleiche Weise vom kritischen Punkt weggetrieben werden. Dies ist der Ursprung der Universalität.

Meinst du für den niederdimensionalen Raum? { J } wo es nur einen kritischen Punkt gibt, dass der kritische Punkt genau dasselbe ist wie der Fixpunkt?
ja, der kritische punkt ist ein festpunkt, wenn man eben hat J 1 , jedoch gibt es noch andere, unkritische Fixpunkte
Wie können wir beweisen, dass der kritische Punkt ein Fixpunkt ist, wenn wir nur haben J 1 ?
An einem festen Punkt ist das System gegenüber Skalierungstransformationen invariant. Das bedeutet, dass die Korrelationslänge an einem festen Punkt entweder null oder unendlich ist. Ein Fixpunkt mit unendlicher Korrelationslänge ist ein kritischer Fixpunkt. Das ist die beste Definition von kritischem Punkt, die ich kenne.

Siehe Kritisches 2D-Ising-Modell zur Erläuterung des Unterschieds zwischen kritischem Punkt und Fixpunkt. Was Patrick gesagt hat, ist nicht richtig. Der Ising-Hamiltonoperator (nur bei den nächsten Kopplungen) mit dem speziellen Wert von J 1 ist ein kritischer Punkt, aber kein Fixpunkt. Die kritische Oberfläche ist eine riesige unendlich dimensionale Mannigfaltigkeit. Darin liegt die kritische Linie (weniger Standardterminologie), die am Gaußschen Fixpunkt im UV beginnt und am Wilson-Fisher-Fixpunkt im IR endet. Dies ist die Zeile, die in dieser verwandten Frage mit "F" gekennzeichnet ist: ϕ 4 -Theorie: Interpretation des RG-Flusses

Die Beziehung zwischen kritischer Oberfläche und dem (Renormierungs-)Fixpunkt
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