ϕ4ϕ4\phi^4-Theorie: Interpretation des RG-Flusses

Question

ϕ4ϕ4\phi^4-Theorie: Interpretation des RG-Flusses

Anne O'Nyme

Ich beziehe mich auf diese Vorlesungen über die Renormalisierungsgruppe und genauer gesagt auf die Abbildung des RG-Flusses für die $\phi^4$ -Theorie auf Seite 18.

Der Lagrangian in der im Text verwendeten Notation ist

L = - \frac{1}{2} (\partial_{μ} ϕ)^{2} - v (ϕ) mit v (ϕ) = \sum_{N} μ^{D - N (D - 2)} \frac{G_{2 N}}{(2 N)!} ϕ^{2 N},

$\mathcal L = -\frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)^2 - V(\phi)\quad \text{with } \quad V(\phi)=\sum_n \mu^{d-n(d-2)}\frac{g_{2n}}{(2n)!}\phi^{2n}\,,$ Wo

μ

$\mu$ ist der harte Schnitt.

Der Einfachheit halber ist hier die entsprechende Zahl für den RG-Durchfluss für die Dimension $d=4-\epsilon$ mit $\epsilon>0$

Wie im Text erklärt:

„ F beschreibt eine masselose Wechselwirkungstheorie, die zwischen einer freien Theorie im UV und dem Ising-Modell im IR interpoliert“

Meine Frage ist sehr einfach: Wie kann die Linie F masselose Theorien als Kopplungskonstante darstellen? $g_2=m$ entlang dieser Linie ist ungleich Null ....?

Antworten (3)

ϕ4ϕ4\phi^4-Theorie: Interpretation des RG-Flusses

Abdelmalek Abdesselam · Answer 1

Das Bild stellt die Wilsonsche RG dar, die auf den Raum aller Theorien mit Einheits-UV-Grenzwert wirkt (z. B. alle Theorien, die Sie auf das Einheitsgitter legen können). Natürlich gibt es noch viele weitere Achsen, die hier nicht dargestellt sind. Dies ist ein unendlichdimensionales dynamisches System, aber der wichtige Abschnitt für die vorliegende Angelegenheit ist der betreffende $\phi^2$ oder $g_2$ und das $\phi^4$ oder $g_4$ Richtungen. Ein vielleicht besseres Koordinatensystem ist jedoch das der Dochtkräfte

: ϕ^{2} := ϕ^{2} - C_{1, \infty} (0, 0),

$:\phi^2:=\phi^2-C_{1,\infty}(0,0)\ ,$

: ϕ^{4} := ϕ^{4} - 6 C_{1, \infty} (0, 0) ϕ^{2} + 3 C_{1, \infty} (0, 0)^{2}

$:\phi^4:=\phi^4-6\ C_{1,\infty}(0,0)\ \phi^2+3\ C_{1,\infty}(0,0)^2$ Wo

C_{1, \infty}

$C_{1,\infty}$ ist die freie Kovarianz mit Einheiten-Cutoff in den Notationen von https://mathoverflow.net/questions/62770/what-mathematical-treatment-is-there-on-the-renormalization-group-flow-in-a-spac/63089 #63089

Denn die Wick-Potenzen sind die Eigenvektoren des Differentials der RG-Abbildung am Ursprung, dh dem Gaußschen Fixpunkt. Durch die grundlegende Bifurkationstheorie, wenn Sie einen kleinen einschalten $\epsilon>0$ ein neuer Fixpunkt (Wilson-Fisher) entsteht aus dem Ursprung in Richtung des Eigenvektors $:\phi^4:$ . Es ist ein Beispiel für transkritische Bifurkation. Die Linie F ist also eine Tangente am Ursprung an die $:\phi^4:$ Achse. Wenn Sie den dreieckigen Koordinatenwechsel zwischen den Docht- und Nicht-Wick-Mächten durchführen, sehen Sie, dass die Gleichung von F in der Nähe des Ursprungs ungefähr ist

G_{2} = - 6 C_{1, \infty} (0, 0) G_{4}

$g_2=-6\ C_{1,\infty}(0,0)\ g_4$ Übrigens habe ich Fakultäten nicht in meine Konvention aufgenommen

V

$V$ . Das Bild hat korrekterweise eine negative Steigung für die F-Linie.

Bearbeiten Sie gemäß Nikitas Frage unten:

Hier gibt es zwei unterschiedliche Massebegriffe. Da ist die Messe im Lagrange (MSITL), d.h. $g_2$ oder der Koeffizient von $\phi^2$ . Es gibt auch die wahre Masse (TM), dh $m$ definiert durch den Zerfall der Zweipunktfunktion. Beachten Sie, dass ich einen anderen Namen hätte verwenden können $g_2$ ist die bloße Masse, aber dies hätte Verwirrung gestiftet, da die bloße Masse normalerweise für einen Nicht-Einheits-Cutoff gilt und bemaßt ist, während $g_2$ ist dimensionslos und gehört zu einer Theorie, die (im gesamten Wilsonschen RG-Fluss) auf dem Einheitsgitter lebt. Grob $m$ wird durch die Eigenschaft definiert, wie sich die Zweipunktfunktion verhält $\langle\phi(x)\phi(y)\rangle\sim e^{-m|x-y|}$ für $x,y$ weit auseinander auf dem Einheitsgitter. Das ist nur im trivialen/uninteressanten Gaußschen Fall der Fall $m=g_2$ . Allgemein $m=m(g_2,g_4,\ldots)$ ist eine sehr komplizierte nichtlineare Funktion der im Lagrange-Operator vorhandenen Kopplungen. Die Theorie ist masselos, wenn $m=0$ , also gibt es keinen Grund, dies zu übersetzen $g_2=0$ . Eigentlich braucht man $g_2<0$ . Eine Heuristik dafür ist, wenn man leicht in Richtung negativerer Werte von überschießt $g_2$ dann kommt man ins kaputte $\mathbb{Z}_2$ Symmetrieregime. Dies erfordert eindeutig ein Doppelmuldenpotential, das vorgibt, das Potential für ein Ising-Modell zu sein. Wenn $g_2\ge 0$ (ebenso gut wie $g_4>0$ , $g_6=g_8=\cdots=0$ ) dann hat das Potential einen einzigen Brunnen mit Minimum bei $\phi=0$ . Dies kann Ihnen keine spontane Magnetisierung geben.

Wie die Linie F masselose Theorien als Kopplungskonstante darstellen kann $g_2=m$ entlang dieser Linie ist ungleich Null ....? Können Sie diese Frage beantworten? Denn leider habe ich nicht verstanden, warum Theorie masselos ist..
Meine Antwort wurde bearbeitet, um zu versuchen, auf Ihren Kommentar einzugehen.
Danke schön! Ich habe auch die direkte Berechnung in erster Ordnung hinzugefügt. Vielleicht können Sie meine Berechnung kommentieren, um die Beziehung zu Ihren Argumenten zu verdeutlichen.

Mike Stein · Answer 2

Die Masse im System ist das Inverse der Korrelationslänge, die entlang der mit F bezeichneten Linie überall unendlich ist, da dies die Linie der kritischen Punkte ist, die die gebrochene Symmetriephase von der ungebrochenen trennt $<\phi>=0$ Phase. Der Parameter $g_2$ ist nur das --- ein Parameter --- und ist nicht die Masse. Sie müssen die Theorie lösen, um die tatsächliche Masse aus den bloßen Parametern zu berechnen $g_2$ Und $g_4$ .

Ich habe eine solche Berechnung durchgeführt. Könnten Sie einige Kommentare/Korrekturen/Vorschläge zu meiner Berechnung hinterlassen?

Nikita · Answer 3

Ich habe diese Aufgabe in erster Reihenfolge direkter angegangen $\epsilon$ . Beginnen wir mit der direkten Berechnung des Propagators:

⟨ ϕ (P) ϕ (- P) ⟩ = \frac{1}{P^{2} + M^{2}} - \frac{4 \cdot 3 \cdot G}{(P^{2} + M^{2})^{2}} \int^{Λ} \frac{D^{4 - ϵ} k}{(2 π)^{4 - ϵ}} \frac{1}{k^{2} + M^{2}} + \dots

$\langle \phi(p) \phi(-p) \rangle = \frac{1}{p^2+m^2} - \frac{4 \cdot 3 \cdot g}{(p^2 + m^2)^2} \int^\Lambda \frac{d^{4-\epsilon}k}{(2\pi)^{4-\epsilon}} \frac{1}{k^2+m^2} + \dots$

\int^{Λ} \frac{D^{D} k}{(2 π)^{D}} \frac{1}{k^{2} + M^{2}} = \frac{v Ö l (S^{D - 1})}{(2 π)^{D}} \int_{0}^{Λ} \frac{k^{D - 1} D k}{k^{2} + M^{2}} = \frac{π^{D / 2}}{(2 π)^{D} Γ (D / 2)} \int_{0}^{Λ} \frac{(k^{2})^{D / 2 - 1} D (k^{2})}{k^{2} + M^{2}}

$\int^\Lambda \frac{d^{d}k}{(2\pi)^d} \frac{1}{k^2+m^2} = \frac{Vol(S^{d-1})}{(2\pi)^d} \int_0^\Lambda \frac{k^{d-1} dk}{k^2 + m^2} = \frac{ \pi^{d/2}}{(2\pi)^d \Gamma(d/2)} \int_0^\Lambda \frac{(k^2)^{d/2-1} d(k^2)}{k^2 + m^2}$ Verwenden

g \sim ϵ

$g\sim \epsilon$ , Wir reparieren

d = 4

$d=4$ :

\int^{Λ} \frac{D^{D} k}{(2 π)^{D}} \frac{1}{k^{2} + M^{2}} = \frac{1}{(4 π)^{2}} (Λ^{2} - M^{2} \ln \frac{Λ^{2} + M^{2}}{M^{2}})

$\int^\Lambda \frac{d^{d}k}{(2\pi)^d} \frac{1}{k^2+m^2} = \frac{1}{(4\pi)^2} \left(\Lambda^2 - m^2\ln \frac{\Lambda^2 + m^2}{m^2}\right)$ Erweitern der erhaltenen Korrelationsfunktion:

⟨ ϕ (P) ϕ (- P) ⟩ \approx \frac{1}{P^{2} + M^{2}} [1 - \frac{4 \cdot 3 \cdot G Λ^{2}}{P^{2} + M^{2}} \frac{1}{(4 π)^{2}} (1 - \frac{M^{2}}{Λ^{2}} \ln \frac{Λ^{2}}{M^{2}})] \approx \frac{1}{P^{2}} [1 - \frac{4 \cdot 3 \cdot G Λ^{2} / (4 π)^{2} + M^{2}}{P^{2}}]

$\langle \phi(p) \phi(-p) \rangle \approx \frac{1}{p^2+m^2}\left[1 - \frac{4\cdot 3 \cdot g\Lambda^2}{p^2 + m^2} \frac{1}{(4\pi)^2} \left(1 - \frac{m^2}{\Lambda^2}\ln \frac{\Lambda^2}{m^2}\right) \right] \approx \frac{1}{p^2} \left[1 - \frac{4\cdot 3 \cdot g\Lambda^2/ (4\pi)^2 + m^2}{p^2} \right]$ Also im kritischen WF-Punkt

m_{⋆}^{2} \approx - \frac{1}{6} Λ^{2} ϵ

$m^2_{\star} \approx -\frac{1}{6} \Lambda^2 \epsilon$ ,

{\tilde{g}}_{⋆} = \frac{2 π^{2}}{9} ϵ

$\tilde{g}_{\star} = \frac{2\pi^2}{9}\epsilon$ wir haben:

⟨ ϕ (P) ϕ (- P) ⟩_{⋆} = \frac{1}{P^{2}} + Ö (ϵ^{2})

$\langle \phi(p) \phi(-p) \rangle_{\star} = \frac{1}{p^2} + O(\epsilon^2)$

Wir haben masselose Teilchen auf der Kurve (in erster Ordnung in $\epsilon$ ) :

M^{2} = - 3 G Λ^{2} / 4 π^{2}

$m^2 = - 3 g\Lambda^2/ 4\pi^2$ Diese Linie verbindet offensichtlich den Gaußschen Fixpunkt (

m^{2} = g = 0

$m^2 = g =0$ ) und Wilson-Fisher-Fixpunkt.

Auch

\frac{D}{D S} (4 \cdot 3 \cdot G Λ^{2} / (4 π)^{2} + M^{2}) = 0

$\frac{d}{ds}\left(4\cdot 3 \cdot g\Lambda^2/ (4\pi)^2 + m^2\right) =0$

auf RG-Gleichungen erster Ordnung in $\epsilon$ .

{\begin{cases} \frac{D M^{2}}{D S} = 2 μ^{2} + \frac{3}{2 π^{2}} G Λ^{2} \\ \frac{D G}{D S} = ϵ G - \frac{9}{2 π^{2}} G^{2} \end{cases}

$\begin{cases} \frac{dm^2}{ds} = 2\mu^2 + \frac{3}{2\pi^2} g \Lambda^2\\ \frac{dg}{ds} = \epsilon g - \frac{9}{2\pi^2} g^2 \end{cases}$

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand die Beziehung einer solchen Berechnung zu Abdelmalek Abdesselams Antwort erklärt.

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