Schnelle und langsame Modi und das Verschwinden bestimmter Diagramme während der Renormalisierung

Question

Schnelle und langsame Modi und das Verschwinden bestimmter Diagramme während der Renormalisierung

Jonathan Gleason

Mitten auf S. 452 der Condensed Matter Field Theory von Atland und Simons sagen sie Folgendes aus:

Bedingungen $\mathcal{O}(\phi _{\text{s}}^3\phi _{\text{f}})$ treten nicht auf, weil die Addition eines schnellen Impulses und dreier langsamer Impulse mit der Impulserhaltung unvereinbar ist.

Meine Frage ist einfach: Warum? Naiv scheint es, dass sich drei langsame Impulse zu einem schnellen Impuls addieren könnten.

Ich werde jetzt versuchen, mehr Details zu geben, damit Sie das Buch nicht selbst überprüfen müssen. Der Kontext ist $\phi ^4$ Theorie:

S (ϕ) := \int D X [\frac{1}{2} | \nabla ϕ |^{2} + \frac{R}{2} | ϕ |^{2} + \frac{λ}{4!} | ϕ |^{4}] .

$S(\phi ):=\int \mathrm{d}x\, \left[ \tfrac{1}{2}|\nabla \phi |^2+\tfrac{r}{2}|\phi |^2+\tfrac{\lambda}{4!}|\phi |^4\right] .$ Wir haben einen Renormalisierungs-Skalierungsfaktor gewählt

b \geq 1

$b\geq 1$ und eine Impulsunterbrechung

Λ

$\Lambda$ ausreichend groß damit

\int_{| p | > Λ} \hat{ϕ} (p) \exp (i p x)

$\int _{|p|>\Lambda}\hat{\phi}(p)\exp (\mathrm{i}px)$ Ist vernachlässigbar. Wir definieren dann

ϕ_{S} (X) := \frac{1}{(2 π)^{D / 2}} \int_{| P | \leq Λ / B} \hat{ϕ} (P) \exp (ich P X) Und \frac{1}{(2 π)^{D / 2}} ϕ_{F} := \int_{Λ / B < P \leq Λ} \hat{ϕ} (P) \exp (ich P X),

$\phi _{\text{s}}(x):=\frac{1}{(2\pi )^{d/2}}\int _{|p|\leq \Lambda /b}\hat{\phi}(p)\exp (\mathrm{i}px)\text{ and }\frac{1}{(2\pi )^{d/2}}\phi _{\text{f}}:=\int _{\Lambda /b<p\leq \Lambda}\hat{\phi}(p)\exp (\mathrm{i}px),$ Wo

d

$d$ wenn natürlich die Dimension des Raumes, so dass

ϕ = ϕ_{s} + ϕ_{f}

$\phi =\phi _{\text{s}}+\phi _{\text{f}}$ . Dann haben wir das

S (ϕ) = S (ϕ_{<}) + S_{0} (ϕ_{>}) + \frac{λ}{4!} \int D X [ϕ_{F}^{4} + 4 ϕ_{F}^{3} ϕ_{S} + 6 ϕ_{F}^{2} ϕ_{S}^{2} + 4 ϕ_{F} ϕ_{S}^{3}],

$S(\phi )=S(\phi _<)+S_0(\phi _>)+\frac{\lambda}{4!}\int \mathrm{d}x\, \left[ \phi _{\text{f}}^4+4\phi _{\text{f}}^3\phi _{\text{s}}+6\phi _{\text{f}}^2\phi _{\text{s}}^2+4\phi _{\text{f}}\phi _{\text{s}}^3\right] ,$ Wo

S_{0} (ϕ) := \int D X [\frac{1}{2} | \nabla ϕ |^{2} + \frac{R}{2} | ϕ |^{2}] .

$S_0(\phi ):=\int \mathrm{d}x\, \left[ \tfrac{1}{2}|\nabla \phi |^2+\tfrac{r}{2}|\phi |^2\right] .$ Wir rechnen dann

- \ln (\int D ϕ_{F} \exp (- S (ϕ))),

$-\ln \left( \int \mathrm{d}\phi _{\text{f}}\exp \left( -S(\phi )\right) \right) ,$ das ist eine Summe über verbundene Vakuumdiagramme in der

ϕ_{f}

$\phi _{\text{f}}$ Theorie.

Eine äquivalente Behauptung ist, dass dann jedes Diagramm, das einen Knoten enthält, aus dem Begriff hervorgeht $\phi _{\text{f}}\phi _{\text{s}}^3$ verschwindet. Ich verstehe nicht nur seine Heuristik nicht, dass dies mit der Impulserhaltung nicht vereinbar ist, sondern ich sehe auch nicht, wie diese Diagramme verschwinden, wenn ich sorgfältig berechne, welchen Wert sie unter Verwendung der Feynman-Regeln haben sollten. Eine ideale Antwort sollte dieses Verschwinden schematisch erklären können.

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Schnelle und langsame Modi und das Verschwinden bestimmter Diagramme während der Renormalisierung

vik · Answer 1

Betrachten Sie die Partitionsfunktion

Z = \int D ϕ e^{- S_{0} - S_{ICH}},

$Z = \int D\phi ~ e^{-S_0 - S_I},$ Wo

S_{0}

$S_0$ ist der Gaußsche/freie Teil und

S_{I}

$S_I$ ist der Interaktionsteil der Aktion. Innerhalb eines Störungsrahmens können wir darauf abzielen, die Beiträge schneller Moden systematisch in die (effektive) Wirkung langsamer Moden einzubeziehen. Dazu erweitern wir die Interaktionsstärke als

Z = \int D ϕ e^{- S_{0}} [1 + \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{N}}{N!} (S_{ICH})^{N}] = \int D ϕ e^{- S_{0}} [1 + \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{N}}{N!} ⟨ S_{ICH} ⟩_{F}^{N}],

$Z = \int D\phi ~ e^{-S_0}\left[1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} (S_I)^n \right] = \int D\phi ~ e^{-S_0}\left[1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \langle S_I \rangle_f^n \right],$ wobei der Durchschnitt über die schnellen Modi erfolgt (daher der Index

f

$f$ ). Der

ϕ_{s}^{3}

$\phi_s^3$ (oder der

ϕ_{s}

$\phi_s$ ) Scheitelpunkt kommt im obigen aus zwei Gründen nicht vor.

Für $n = 1$ : $\langle \phi_s^3 \phi_f \rangle_f = \phi_s^3 \langle \phi_f \rangle_f = 0$ Weil $\langle \phi_f \rangle_f = 0$ , da wir uns nicht in einer Phase mit gebrochener Symmetrie befinden, in der das Feld einen Erwartungswert ungleich Null haben kann.
Für $n>1$ : Hier können wir schnelle Moden kontrahieren, die von verschiedenen Scheitelpunkten ausgehen. Jedoch, $\phi_s^3$ Vertex wird nicht generiert, weil es in a keinen Prozess gibt $\phi^4$ Theorie, die produzieren kann a $\phi^3$ Scheitel. Betrachten Sie ein allgemeines Diagramm aus $V$ Ecken, enthält $I$ interne Leitungen oder Propagatoren und $E$ externe Leitungen. Diese Zahlen sind als beschränkt
$4 v - 2 ICH = E,$ $4V - 2I = E,$ aufgrund der "Erhaltung der Anzahl der Beine" an jedem Scheitelpunkt. Deutlich, $E$ kann da nicht ungerade sein $V$ Und $I$ sind positive ganze Zahlen. So, $E=3$ Diagramme (die dazu beitragen $\phi_s^3$ Scheitelpunkt) werden nicht erzeugt oder sind gleich Null.

"Jedoch, $\phi _s^3$ Vertex wird nicht generiert, weil es in a keinen Prozess gibt $\phi ^4$ Theorie, die produzieren kann a $\phi ^3$ Vertex." ---- Ich habe das Gefühl, dass dieses Argument zirkulär ist ... Ein Teil dessen, was wir zeigen möchten, ist, dass wir nach einer RG-Transformation keine neuen Terme in der Aktion erzeugen (zumindest in der Reihenfolge wir arbeiten) Es ist denkbar, dass wir a generieren könnten $\phi ^3$ Term nach Renormierung, in welchem Fall die Theorie offensichtlich a erzeugen könnte $\phi ^3$ Scheitel. Verstehe ich ernsthaft etwas falsch?
"Deutlich, $E$ kann da nicht ungerade sein $V$ Und $I$ sind positive ganze Zahlen." ---- Sicher, aber was ist zB mit $E=6$ . Betrachten Sie zum Beispiel ein Diagramm mit zwei $\phi _{\text{s}}^3\phi _{\text{f}}$ Ecken mit den beiden $\phi _{\text{f}}$ Beine zusammengezogen. Dies ergibt ein Diagramm mit $6$ externe langsame Beine, nicht wahr? Tatsächlich ist es dieses spezielle Diagramm, mit dem ich mich in den letzten Tagen abmühte, es verschwinden zu lassen.
@JonathanGleason erster Kommentar: In einem Störungsrenormierungsschema können die resultierenden Scheitelpunkte nach dem Integrieren von Hochenergiemoden als diejenigen angesehen werden, die durch Kontrahieren der Fast-Mode-Beinen der Scheitelpunkte auf Baumebene erzeugt werden. Im $\phi^4$ Theorie gibt es 4 Scheitelpunkte mit Fast-Mode-Beinen (Referenz: der fragliche Körper). Diese miteinander zu kontrahieren kann keine Scheitelpunkte mit einer ungeraden Anzahl von Zweigen im langsamen Modus erzeugen. Ein Beweis würde sich aus der Einschränkung ergeben, die ich in meiner obigen Antwort zitiert habe.
2. Kommentar: Knoten höherer Ordnung wie z $\phi_s^{2n}$ mit $n\geq 3$ werden immer durch das Ausintegrieren erzeugt. Diese können wir vernachlässigen, da sie die Beta-Funktionen der Strömungsparameter in der Theorie nicht beeinflussen. Mit anderen Worten, wenn der Interaktionsknoten in der Aktion auf Baumebene marginal ist, sind alle Knoten höherer Ordnung irrelevant. Diese allgemeine Erwartung sollte gelten, es sei denn, wir integrieren einige Nullenergiemodi in unser Wilsonsches RG-Schema.
Woher wissen wir a priori, dass die Ecken der Form $\phi ^{2n}$ mit $n\geq 3$ wird irrelevant sein. Noch einmal, müssen wir nicht tatsächlich die Renormalisierungsprozedur abschließen, um dies genau zu überprüfen? Sicher, man kann eine Dimensionsanalyse durchführen und feststellen, dass der „Ingenieurabschluss“ darauf hindeutet, dass sie irrelevant sind, aber um tatsächlich zu beweisen, dass diese Erwartung richtig ist, müssen wir nicht das vollständige Renormalisierungsverfahren durchführen?
Habe ich insbesondere Recht, wenn ich sage, dass wir das Diagramm, um das ich mir Sorgen mache, ignorieren können, nicht weil es verschwindet, sondern weil sein Beitrag irrelevant ist? Auf einer anderen Anmerkung, wie bezieht man dies auf „Impulserhaltung“? Bedeutet das nur, dass man keine Scheitelpunkte mit einer ungeraden Anzahl langsamer Moden erzeugen kann?
In Bezug auf das Ignorieren irrelevanter Eckpunkte: Es gibt bestimmte Fälle von Feldtheorien, bei denen beim Ignorieren irrelevanter Eckpunkte Vorsicht geboten ist, da sie "gefährlich irrelevant" sein könnten. Googeln würde mehr zu diesen Objekten bringen. Ich denke, für $\phi^4$ Theorie ein $(3+1)$ -Maße, $\phi^{2n}$ Ecken (mit $n\geq 3$ ) sind nicht gefährlich irrelevant und können daher getrost ignoriert werden.
"... aber um tatsächlich zu beweisen, dass diese Erwartung richtig ist, müssen wir nicht die vollständige Renormalisierungsprozedur durchführen?" Dies ist ein guter Punkt, den man beim RG im Hinterkopf behalten sollte. Innerhalb eines störenden RG-Schemas, womit ich meine, dass der Expansionsparameter bis zum Fixpunkt und am Fixpunkt klein bleibt, reicht die technische Skalierungsdimension aus, um die Irrelevanz von zu beweisen $\phi^6$ Vertex: die Beta-Funktion auf Baumebene des $\phi^6$ Kupplung würde nur eine winzige Korrektur erfahren $\propto \lambda^2 \ll 1$ . Daher dominiert die Skalierung auf Baumebene.
In nicht-störungstheoretischen Theorien, in denen es keinen kleinen Parameter gibt, kann diese Beta-Funktion auf Baumebene jedoch im Prinzip a erhalten $\mathcal{O}(1)$ Korrektur von Quantenfluktuationen. Hier können wir der technischen Skalierungsdimension von Scheitelpunkten nicht vertrauen.
"Habe ich recht, wenn ich sage, dass wir das Diagramm ignorieren können, um das ich mir Sorgen mache, nicht weil es verschwindet, sondern weil sein Beitrag irrelevant ist?" - Ja. "Wie bezieht man das auf "Impulserhaltung"? " - Ich denke, es hat mit der Unfähigkeit zu tun, ungerade Scheitelpunkte durch Kontraktion zu erzeugen.
„Innerhalb eines störenden RG-Schemas, womit ich meine, dass der Expansionsparameter bis zum Fixpunkt und am Fixpunkt klein bleibt, reicht die technische Skalierungsdimension aus, um die Irrelevanz von zu beweisen $\phi ^6$ Scheitelpunkt." ---- Wie gehe ich eigentlich vor, um diese Aussage zu beweisen? Mit einem Beweis davon glaube ich, dass meine Frage vollständig beantwortet ist. (Außerdem, gehe ich richtig in der Annahme, dass dies nicht spezifisch für $\phi ^6$ , gilt aber auch für allgemein $\phi ^{2n}$ mit $n\geq 3$ ?)

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