Warum fordern wir, dass die Gegenterme in der φ3φ3\varphi^3-Theorie O(g2)O(g2)O(g^2) sind?

In Srednickis QFT-Buch, Abschnitt 9, führt er das ein φ 3 lagrange:

(9.1) L = − 1 2 Z φ ( ∂ μ φ ) ( ∂ μ φ ) − 1 2 Z M M 2 φ 2 + 1 6 Z G G φ 3 + Y φ .

Dann sagt er für die nächsten paar Kapitel, wir "erwarten"

(1) Z ich   =   1 + Ö ( G 2 ) , ich ∈ { φ , M , G } ,
und dann geht er weiter und nimmt an, dass dies der Fall ist, wenn er in Abschnitt 14 nach ihnen löst, aber er begründet diese Annahme nie. Warum ist es gerechtfertigt, dh warum können sie es nicht sein? 1 + Ö ( G ) ?

Ich denke, es hat etwas damit zu tun, dass die Korrektur niedrigster Ordnung für den Propagator ein Diagramm auf Baumebene mit zwei Scheitelpunkten ist, nicht einem, was ein bringt Ö ( G 2 ) Korrektur. Aber warum nicht die Gegenbegriffe vorsehen Ö ( G ) Korrektur, so dass sie anstelle der zusätzlichen Scheitelpunkte die Korrektur niedrigster Ordnung zum Propagator dominieren?

Antworten (3)

Die Renormierungsfaktoren Z ich werden durch Stellenpläne erzeugt. Für Z φ Und Z M , bedeutet dies Diagramme mit zwei äußeren Schenkeln, da diese Faktoren Operatoren mit zwei Faktoren des Körpers multiplizieren φ . Sie können unmöglich ein Schleifendiagramm (oder irgendein Diagramm!) mit zwei äußeren Schenkeln mit nur einem Drei-Teilchen-Knoten aufschreiben. Da alle drei- φ Vertex ist einem Faktor der Kopplung zugeordnet G , können Sie keine Korrektur des Propagators erhalten, ohne mindestens zwei Scheitelpunkte und damit einen Gesamtwert zu haben G 2 .

Das gleiche Argument gilt für Z G . Beachten Sie, dass jeder Dreipunktscheitel, den Sie einem Diagramm hinzufügen, die Anzahl der Linien von gerade zu ungerade oder umgekehrt ändert. Also ein Diagramm mit einem Faktor von G hat eine ungerade Anzahl externer Leitungen; ein Diagramm mit G 2 hat eine gerade Zahl; und Sie kehren bei der Bestellung zu einer ungeraden Zahl zurück G 3 . Dies stellt tatsächlich sicher, dass jeder Z ich ist eine Potenzreihe in G 2 , nicht nur G .

Es gibt ein nettes Argument, das auf Symmetrie basiert, zumindest wann Y = 0 wird als Störung behandelt. Der G = Y = 0 Theorie hat eine Z 2 Symmetrie ϕ → − ϕ . Lassen X eine beobachtbare Größe sein, die auf Baumebene ungleich Null ist und eine Reihenerweiterung zulässt X = X ( G ) . Dann X ( G ) muss eine gerade Funktion von sein G . QED!

Das ist ein bisschen zu niedlich, wie in, es ist so kurz, dass ich nicht weiß, worauf Sie hinauswollen.
Ich denke, es fehlen ein paar Schritte in der Logik. Fördern Sie G zu einem Z 2 spurion, das sich verwandelt als G → − G unter Z 2 ?
@MannyC ja, im modernen Sprachgebrauch könnte man sagen, dass die Theorie ist Z 2 unveränderlich wenn G Und Y verwandeln sich in Sporen.

OPs Gl. (1) gilt im Allgemeinen nicht . Sie hängt entscheidend von der Wahl der Renormierungsbedingungen ab † , siehe Gl. (14.7), (14.8) & (16.14) in Lit. 1. ZB nur das Produkt Z G G in die Lagrange-Dichte (9.1) eintritt, so dass eindeutig eine Art von Bedingung zur Behebung benötigt wird Z G Und G individuell. Die in Ref. 1 sind wohl die einfachsten Möglichkeiten.

Natürlich das Herzstück der Ö ( G 2 ) Das Argument wird bereits von OP erraten und in der Antwort von Benutzer Buzz ausgearbeitet.

Verweise:

  1. M. Srednicki, QFT, 2007; Kapitel 9 + 14 + 16. Eine Vorveröffentlichungsentwurfs-PDF-Datei ist hier verfügbar .

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† Die 2 Renormierungsbedingungen in Gl. (9.2) von Lit. 1. erweisen sich für Gl. (1).

Warum fordern wir, dass die Gegenterme in der φ3φ3\varphi^3-Theorie O(g2)O(g2)O(g^2) sind?
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