Wilson-Fisher Fixpunkt in 2+1 Dimensionen

Question

Wilson-Fisher Fixpunkt in 2+1 Dimensionen

Libertarian Feudalist Bot

In der Arbeit von y Nathan Seiberg, T. Senthil, Chong Wang und Edward Witten,

Ein Dualitätsnetz in 2+1-Dimensionen und Physik der kondensierten Materie

Auf Seite 1 wird behauptet, dass die beiden Theorien

| D_{B} ϕ |^{2} - G | ϕ |^{4} ⟷ \frac{- 1}{4 e^{2}} {\hat{F}}_{μ v} {\hat{F}}^{μ v} + | D_{\hat{B}} \hat{ϕ} |^{2} - \hat{G} | \hat{ϕ} |^{4} + \frac{1}{2 π} ϵ^{a β γ} {\hat{B}}_{a} \partial_{β} B_{γ}

$|D_{B}\phi|^{2}-g|\phi|^{4}\longleftrightarrow\frac{-1}{4e^{2}}\hat{f}_{\mu\nu}\hat{f}^{\mu\nu}+|D_{\hat{b}}\hat{\phi}|^{2}-\hat{g}|\hat{\phi}|^{4}+\frac{1}{2\pi}\epsilon^{\alpha\beta\gamma}\hat{b}_{\alpha}\partial_{\beta}B_{\gamma}$

sind dual und fließen zum Wilson-Fisher-Fixpunkt im IR, wo $\hat{f}_{\mu\nu}=\partial_{\mu}\hat{b}_{\nu}-\partial_{\nu}\hat{b}_{\mu}$ . Die klassischen Massenmaße sind $[ \phi ]=[ \hat{\phi} ]=1/2$ , $[B]=[ \hat{b} ]=1$ , $[g]=[ \hat{g} ]=1$ , Und $[e]=1/2$ . Bei der IR-Grenze erwarte ich das $e\rightarrow\infty$ Und $g,\hat{g}\rightarrow\infty$ , also kann ich den kinetischen Term von streichen $\hat{b}$ Feld $d\hat{b}\wedge\ast d\hat{b}$ , und die Theorien werden stark gekoppelt.

Aus dieser Bachelorarbeit Functional Renormalization Group for Scalar Field Theorys von Arthur Vereijken geht jedoch die exakte $\beta$ -Funktion von real $\phi^{4}$ Der Skalar wird mithilfe der exakten RG-Flussgleichung von Wetterich berechnet, die in der Quantengravitationsgemeinschaft weit verbreitet ist.

Das zeigt die Theorie

S = \int D^{D} X {\frac{1}{2} ϕ (X) (- \partial^{2} + M^{2}) ϕ (X) + \frac{λ}{4!} ϕ (X)^{4}}

$S=\int d^{D}x \left\{\frac{1}{2}\phi(x)\left(-\partial^{2}+m^{2}\right)\phi(x)+\frac{\lambda}{4!}\phi(x)^{4}\right\}$

\equiv \int D^{D} X {\frac{1}{2} ϕ (X) (- Z_{Λ} \partial^{2} + Λ^{2} {\tilde{M}}_{Λ}^{2}) ϕ (X) + \frac{Λ^{4 - D}}{4!} λ_{Λ} ϕ (X)^{4}}

$\equiv\int d^{D}x\left\{\frac{1}{2}\phi(x)\left(-Z_{\Lambda}\partial^{2}+\Lambda^{2}\tilde{m}_{\Lambda}^{2}\right)\phi(x)+\frac{\Lambda^{4-D}}{4!}\lambda_{\Lambda}\phi(x)^{4}\right\}$

hat einen Wilson-Fisher-Fixpunkt an

Z_{*} = 1

$Z_{\ast}=1$

{\tilde{M}}_{*} = \frac{D - 4}{16 - D}

$\tilde{m}_{\ast}=\frac{D-4}{16-D}$

{\tilde{λ}}_{*} = \frac{9 \cdot 2^{D + 5} π^{D / 2} Γ (D / 2 + 1) (4 - D)}{(16 - D)^{3}}

$\tilde{\lambda}_{\ast}=\frac{9\cdot 2^{D+5}\pi^{D/2}\Gamma(D/2+1)(4-D)}{(16-D)^{3}}$

In D = 2 + 1 hat der Wilson-Fisher-Fixpunkt eine endliche Kopplung mit negativem Massenquadrat $-1/13$ , also eine spontane Symmetriebrechung.

In der Arbeit von Nathan Seiberg, T. Senthil, Chong Wang und Edward Witten heißt es jedoch eindeutig, dass der Wilson-Fisher-Fixpunkt in 2 + 1-Dimensionen masselos ist.

Verstehe ich hier irgendwas falsch?

Antworten (1)

Wilson-Fisher Fixpunkt in 2+1 Dimensionen

TempAccount2020 · Answer 1

Das ist ein Unterschied in der Sprache, nicht in der Physik. QFTs an einem kritischen Punkt sind per Definition masselos: Zweipunkt-Korrelationsfunktionen geeignet renormierter Felder zerfallen wie ein Potenzgesetz im Ortsraum, was im Impulsraum Propagatoren der Form entspricht

Π (P) = \frac{C}{(P^{2})^{1 + γ}}

$\Pi(p) = \frac{c}{(p^2)^{1+\gamma}}$ für irgendeine Zahl

γ

$\gamma$ . Die obige Funktion hat endlich keine Pole

p^{2}

$p^2$ , also ist die Theorie masselos.

Die zweite Formel, die Sie diskutieren, berechnet etwas ganz anderes, nämlich welche Gegenbegriffe Sie zu hinzufügen müssen $\phi^4$ Lagrange, um zum kritischen Punkt zu fließen. Der Massenterm

Λ^{2} M_{Λ}^{2} ϕ^{2}

$\Lambda^2 m_{\Lambda}^2 \phi^2$ ist nur eine bloße Kopplung, ein UV-Parameter der Theorie. Wenn Sie tatsächlich Korrelationsfunktionen in der Theorie berechnen, werden Sie feststellen, dass die Massenlücke null ist, nicht

O (m_{Λ})

$O(m_\Lambda)$ .

Aber der in der zweiten Arbeit berechnete kritische Punkt zeigt, dass er eine negative Masse im Quadrat hat. Ich bin verwirrt.
@NewStudent: Was Sie das negative Massenquadrat nennen, dh den Koeffizienten von $\phi^2$ im Lagrange ist nicht die wahre Masse. Das wollte TempAccount2020 erklären.
Ich stimme @AbdelmalekAbdesselam voll und ganz zu. In einer Gaußschen QFT ist die $m^2$ Die Kopplung im Lagrange ist zufällig die physikalische Masse, aber in einer Wechselwirkungstheorie ist das einfach nicht richtig - die Masse wird aufgrund von Wechselwirkungen renormiert. Das ist der springende Punkt bei der Berechnung von Schleifendiagrammen. Ich bin sicher, dass das von Ihnen zitierte Papier im Wetterich-Stil eine umfassende Ableitung des Wertes von hat $\tilde{m}_\Lambda$ , und diese Ableitung wird zeigen, dass es die richtige Wahl ist, um masselose Physik zu erhalten.
Soweit ich den RG-Fluss verstehe, führt die Integration von Hochfrequenzmoden zu Quantenkorrekturen an den bloßen Kopplungen. Ab einer bestimmten Energieskala (kritischer Punkt) legen sich die Kopplungen fest. Dies ist der Punkt, an dem die Beta-Funktion Null ist. Aus dem zweiten Artikel geht hervor, dass der Wilson-Fisher-Fixpunkt eine spontane Symmetriebrechung aufweist. Verstehe ich etwas falsch? Würden Sie bitte näher darauf eingehen?

Wilson-Fisher Fixpunkt in 2+1 Dimensionen

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Antworten (1)

TempAccount2020

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Abdelmalek Abdesselam

TempAccount2020

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