Warum erwarten wir, dass unsere Theorien unabhängig von Grenzwerten sind?

Dies ist eine sehr interessante Frage, die normalerweise übersehen wird. Zuallererst ist es etwas irreführend zu sagen, dass "die Physik im großen Maßstab vom kleinen Maßstab entkoppelt ist", da uns tatsächlich die Renormierungsgruppe (RG) [im Wilsonschen Sinne die einzige, die ich verwenden werde] sagt, wie wir das Kleine in Beziehung setzen sollen im großen Maßstab skalieren! Aber normalerweise meinen die Leute damit, dass, wenn es einen Fixpunkt im RG-Fluss gibt, ein Teil der Infrarot (IR) [großen] Physik unabhängig von den Details im kleinen [Ultraviolett (UV)] ​​ist, das ist es ist universell. Beispielsweise ist das Verhalten der Korrelationsfunktionen über große Entfernungen unabhängig von den nackten Parametern (um die Einstellung zu fixieren, sagen wir ein Skalarfeld mit nackten Parametern$r_\Lambda, g_\Lambda$für die quadratische und quartische Wechselwirkung und$\Lambda$ist die (vorerst) endliche UV-Grenze).

Aber man sollte nicht vergessen, dass viele physikalische Größen nicht universell sind. Zum Beispiel der kritische Wert von$r_\Lambda$(bei fest$g_\Lambda$und$\Lambda$) am kritischen Punkt zu sein, ist nicht universell. Und dies ist eine physikalische Größe in kondensierter Materie/Stat-Physik, genauso wie das$\Lambda$hat auch eine physikalische Bedeutung.

Der Standpunkt des RG der alten Schule (mit Gegenbegriffen und all dem) ist nützlich für praktische Berechnungen (über eine Schleife hinaus), macht aber alles viel weniger klar. Im Geiste der Hochenergiephysik mit einer QFT von allem (also keine effektive Theorie) will man keinen Cut-Off, weil es keinen Sinn hat, die Theorie soll bei beliebiger Hochenergie funktionieren. Dies bedeutet, dass wir senden sollten$\Lambda$zur Unendlichkeit. Und hier kommt eine weitere nicht triviale Frage: Was meinen wir damit?$\Lambda\to\infty$?

Die störende Antwort darauf lautet: Senden können$\Lambda\to\infty$Ordnung für Ordnung in Störung in$g$. Aber ist es die ganze Antwort auf die Frage? Nicht wirklich. Wenn wir sagen, dass wir wollen$\Lambda\to\infty$, bedeutet dies, dass wir eine QFT auf einem störungsfreien Niveau definieren wollen, die für alle Entfernungen gültig ist, und wir wollen, dass diese QFT wohldefiniert ist, d.h. durch eine endliche Anzahl von Parametern (z. B. zwei oder drei) definiert ist ). Und tatsächlich ist diese nicht störungsfreie unendliche Abschaltgrenze (die ich die Kontinuumsgrenze nennen werde) viel schwieriger zu nehmen. In der Tat, mit einer Theorie, die in der Grenze beschrieben wird$\Lambda\to\infty$durch eine endliche Anzahl von Parametern bedeutet, dass das RG im UV zu einem festen Punkt fließt. Ebenso muss der RG im IR zu einem anderen Fixpunkt fließen, um gut kontrolliert zu werden. Dies impliziert, dass tatsächlich nur sehr wenige QFTs im Kontinuumslimit existieren und dass einige QFTs, die perturbativ renormierbar sind ($\Lambda\to\infty$Ordnung für Ordnung in Störung in$g$) sind im Kontinuumslimit nicht unbedingt wohldefiniert!

Zum Beispiel existieren einige bekannte QFTs in Dimension vier (wie Skalartheorien oder QED) nicht im Kontinuumslimit! Der Grund dafür ist, dass selbst wenn diese Theorien von einem festen Punkt im IR (bei "Kritikalität", was für QED mindestens Elektronen mit Nullmasse bedeutet) kontrolliert werden, dies im UV nicht der Fall ist, da die Wechselwirkung mit dem wächst abgeschnitten. Daher muss man den Wert einer unendlichen Anzahl von Kopplungskonstanten (auch "nicht renormierbar") angeben, um genau eine RG-Trajektorie auszuwählen.

Eine der QFTs, die in der Kontinuumsgrenze existiert, ist die Skalartheorie in Dimensionen kleiner als vier (sagen wir drei). In diesem Fall gibt es bei Kritikalität eine Trajektorie, die durch einen Fixpunkt im UV (den Gaußschen Fixpunkt) und im IR (den Wilson-Fisher-Fixpunkt) gesteuert wird. Alle (!) anderen Trajektorien sind entweder im UV (kritische Theorien, aber mit ansonsten willkürlichen Kopplungskonstanten) oder im IR (keine kritische Theorie) nicht wohldefiniert. Dann sieht man warum das so ist$\Lambda\to\infty$Limit wird in der modernen Herangehensweise an (effektive) QFTs immer weniger als wichtig angesehen. Es sei denn, man möchte die Physik in allen Größenordnungen durch eine QFT beschreiben, ohne eine ausgefallene, bisher unbekannte Theorie bei Energien darüber zu verwenden$\Lambda$. Dennoch ist diese Idee, eine QFT sowohl im IR als auch im UV zu steuern, wichtig, wenn Sie beweisen wollen, dass die Allgemeine Relativitätstheorie im asymptotischen Sicherheitsszenario (nicht störungsfrei) renormierbar ist (dh auf allen Skalen durch wenige Parameter beschrieben werden kann): Wenn es einen nicht trivialen UV-Fixpunkt gibt, dann gibt es eine Flugbahn von diesem Fixpunkt zum Gaußschen Fixpunkt (was meiner Meinung nach die Einstein-Schwerkraft ist), und Sie können die Kontinuumsgrenze nehmen, obwohl die Störung$\Lambda\to\infty$Existiert nicht.

Referenz: Das meiste davon ist inspiriert von meiner Lektüre der sehr schönen Einführung in die nicht-perturbative RG in arXiv 0702.365 und insbesondere von Abschnitt 2.6 „Störungsrenormierbarkeit, RG-Flüsse, Kontinuumsgrenze, asymptotische Freiheit und all das“.

In jeder Phase der Renormierung ändert sich der Hamiltonoperator$\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}_{\textrm{ren.1}}\rightarrow \mathcal{H}_{\textrm{ren.2}} \rightarrow \ldots$; Dabei werden Energiemoden und Längenskalen ausgeschlossen, wie Sie sagen. Aber der Punkt ist, dass jeder$\mathcal{H}, \mathcal{H}_{\textrm{ren.1}}, \mathcal{H}_{\textrm{ren.2}}, \ldots$(einschließlich des 'Originals'$\mathcal{H}$) ist eine effektive oder emergente Theorie, die nur in ihrem Bereich anwendbar ist$\Omega, \Omega_{\textrm{ren.1}}, \Omega_{\textrm{ren.2}}, \ldots$. Dass es selbst in der Teilchenphysik keine fundamentalen Theorien gibt, war ein Kernpunkt, den KG Wilson betonte. Daher zB in Feldtheorien die nackte Elektronenmasse$m$wird einfach zu einem mathematischen Konstrukt; der wahre gemessene und messbare ist der renomalisierte Wert$m^*$.

Was die Entkopplung betrifft, so nehme ich dies aus der Sicht kritischer Phänomene. An diesem kritischen Punkt, an dem es Korrelationen über das gesamte System gibt, spielt der Gitterabstand bekanntlich keine Rolle; daher tragen die langwelligen Moden, die sich über das System erstrecken, am meisten bei. In einer solchen Situation ist die Entkopplung von Längenskalen eindeutig gerechtfertigt; Da QFT und statistische Mechanik über Feynmans Pfadintegralnotation im Wesentlichen äquivalent sind, ist die Entkopplung in renormierbaren Feldtheorien gerechtfertigt. Wenn jemand dies mathematisch rigoros machen kann, zögern Sie bitte nicht ...

Stellen Sie sich als Analogie ein klassisches System mit vielen Konfigurationen vor$i$mit Energien$\epsilon_i$; abhängig von der Temperatur$T$, wird der Beitrag einer Konfiguration weitgehend durch ihre Boltzmann-Gewichte bestimmt$e^{-\epsilon_i/k_BT}$. In diesem Fall können wir alle anderen Beiträge oder Modi verwerfen, die vernachlässigbare Gewichte haben.