Spielt das Winkelmaß bei der dimensionalen Regularisierung eine Rolle?

Wir arbeiten in der euklidischen Raumzeit.

OP versucht, die beiden Rezepte zu vergleichen

$$\tag{A} \int_{\mathbb R^{na}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^np_1\cdots\mathrm d^np_a\ \to\ \mu^{a\epsilon}\int_{\mathbb R^{da}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^dp_1\cdots\mathrm d^dp_a$$ Und $$\tag{B} \int_{\mathbb R^{na}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^np_1\cdots\mathrm d^np_a\ \to\ \tilde\mu^{a\epsilon}\int_{\mathbb R^{na}} \frac{f(p_1,\dots,p_a)}{|p_1|^\epsilon\cdots|p_a|^\epsilon}\, \mathrm d^np_1\cdots\mathrm d^np_a$$ Wo $(n,a)\in\mathbb N^2$ein Paar ganzer Zahlen ist; $d\in\mathbb C$ist ein komplexer Parameter; $\epsilon:=n-d$; Und $(\mu,\tilde\mu)\in\mathbb R^2$ist ein Paar reeller Parameter (Massenskalen).

Das betonen wir$(\mathrm A)$ist die Standardvorschrift zur dimensionalen Regularisierung . Der Fall$(\mathrm B)$ist der analytischen Regularisierung von Speer ziemlich ähnlich , aber sie ist nicht äquivalent.

Wenn$f$hängt von den Impulsen nur über ihr Quadrat ab,

$$f(p_1,\dots,p_a)=f(p_1^2,\dots,p_a^2)$$ dann ist es einfach zu überprüfen, ob die oben genannten Vorschriften gleichwertig sind $$\tag{A} \int_{\mathbb R^{na}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^np_1\cdots\mathrm d^np_a\ \to\ \mu^{a\epsilon}\Omega_d^a\int_{\mathbb R^{a}} p_1^{d-1}\cdots p_a^{d-1}f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm dp_1\cdots\mathrm dp_a$$ Und $$\tag{B} \int_{\mathbb R^{na}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^np_1\cdots\mathrm d^np_a\ \to\ \tilde\mu^{a\epsilon}\Omega_n^a\int_{\mathbb R^{a}} p_1^{n-1-\epsilon}\cdots p_a^{n-1-\epsilon}f(p_1,\dots,p_a)\, \mathrm dp_1\cdots\mathrm dp_a$$ und wir sehen, dass die beiden Rezepte unten ineinander abgebildet werden $$\tilde\mu^\epsilon\to \frac{\Omega_d}{\Omega_n}\mu^\epsilon$$

Als$\mu,\tilde\mu$willkürlich sind, sind die beiden Vorschriften gleichwertig.

Wenn$f$enthält eine nicht triviale Spinorialstruktur, die Äquivalenz ist immer noch korrekt, wenn wir uns darauf einigen, dass Spuren darin sind$d$Dimensionen befriedigen

$$\text{tr}(1)=2^{\lfloor n/2\rfloor}$$ für alle $d\in\mathbb C$.

Andererseits, wenn$f$enthält eine nicht-triviale Lorentz-Struktur (d. h. wenn es kein Lorentz-Skalar ist oder es von Momenten nicht nur durch ihre Quadrate, sondern auch von den Skalarprodukten abhängt$p_i\cdot p_j$), dann bricht die Korrespondenz zusammen . Eine einfache Möglichkeit, dies zu sehen, ist die, gemäß der Standardvorschrift zur Dimensionsregulation, die wir haben

$$p^\mu p^\nu\to\frac{\delta^{\mu\nu}}{d}p^2$$ während wir in der modifizierten Verschreibung haben $$p^\mu p^\nu\to\frac{\delta^{\mu\nu}}{n}p^2$$

Diese sind nicht äquivalent und können nicht äquivalent gemacht werden, indem eine der beiden Rezepturen modifiziert wird (wir können nicht definieren$p^\mu p^\nu$sein$\frac{\delta^{\mu\nu}}{n}p^2$In$d$Dimensionen, weil algebraische Manipulationen wie Kontraktionen und Verschiebungen in der Integrationsvariablen zu Inkonsistenzen führen würden). Es stimmt zwar, dass der divergierende Teil in beiden Ansätzen gleich ist, der endliche Teil muss dies jedoch nicht.

Allgemeiner gesagt unterscheiden sich die beiden Vorschriften durch eine rationale Funktion der Form

$$\frac{P(n)}{P(d)}$$ Wo $P$ist ein Polynom. Dieses Polynom ist im Allgemeinen nicht für alle Feynman-Diagramme gleich, die zu einer bestimmten Ordnung in der Störungstheorie beitragen (siehe zB den Fall der skalaren QED, vgl. ref1, Kapitel 65). Daher rechnet man nicht mit einer Absage der $\xi$-abhängige Begriffe, und die Ward-Identität wird verletzt. Diese Aufhebung gilt im Fall einer Dimensionsregulierung, sodass die beiden Vorschriften nicht gleichwertig sind.

Darüber hinaus ist nicht nur die Spursymmetrie im Schema von OP anomal, die axiale Symmetrie ist es nicht. In der Tat, wenn$n$gerade ist, können wir die axiale Matrix definieren$\gamma_5$. Diese Matrix ist spurlos$\text{tr}(\gamma_5)=0$für eine beliebige Anzahl von Raumzeitdimensionen, so verschwindet die Divergenz des axialen Stroms (bei dimensionaler Regularisierung versagt dieses Argument, weil$\gamma_5$ist für komplex schlecht definiert$d$; aber in OPs Rezept die Anzahl der Raumzeitdimensionen$n$Ist repariert). Da die axiale Anomalie für keine (gerade)$n$(vgl. diesen PSE-Beitrag ) ist die Regularisierung des OP nicht gleichbedeutend mit der dimensionalen Regularisierung.

Abschließend sei noch erwähnt, dass es eine Zwischenrezeptur gibt,

$$\tag{C} \int_{\mathbb R^{na}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^np_1\cdots\mathrm d^np_a\ \to\ \hat\mu^{a\epsilon}\frac{\Omega^a_d}{\Omega_n^a}\int_{\mathbb R^{da}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^dp_1\cdots\mathrm d^dp_a$$ was einer dimensionalen Regularisierung entspricht . Diese Vorschrift belässt das Winkelmaß als das von $n$anstatt $d$, also ist es ziemlich nah an dem, wonach OP gesucht hat. Aber der Integrand wird als komplex bewertet $d$statt fest $n$, es ist also dasselbe wie dimensionale Regularisierung (oder besser gesagt, es wird unter der oben erwähnten Neuskalierung der Massenskala darauf abgebildet).

Verweise.

1. Srednickis QFT.