ϕ4ϕ4\phi^{4} Propagator - Feynman-Diagramm: interner Scheitelpunkt, der zu sich selbst zurückkehrt

Um ein zu definieren$\phi ^4$masselose Theorie, Sie können nicht einfach von einem Lagrangian ausgehen

$$\mathscr L = \frac{1}{2}(\partial\phi)^2-\frac{g_0}{4!} \phi^4,$$ separiere einen kinetischen Term $\mathscr L _0= \frac{1}{2}(\partial\phi)^2$und machen Sie Störungstheorie herum $g _0=0$. Der Grund dafür ist, dass selbst in der niedrigsten Ordnung der Störungstheorie die $\phi^4$Term wird zu divergierenden Diagrammen wie dem gerade berechneten führen, die formal unendlich sind. Um solche Diagramme zu behandeln, benötigen Sie:

1. Um einen Regler einzuführen, wie einen UV-Cutoff$\Lambda$in den Verbreitern.
2. Um den Green-Funktionen einige (in diesem Fall drei) Endlichkeitsbedingungen aufzuerlegen.
3. Alle Größen durch die in Schritt 2 eingeführten (endlichen) Parameter auszudrücken.

Das Verfahren funktioniert nur, wenn Sie von einem renormalisierbaren Lagrangian wie dem folgenden ausgehen:

$$\mathscr L = \frac{1}{2}(\partial\phi)^2-\frac{m_0^2}{2}\phi^2-\frac{g_0}{4!} \phi^4.$$

Der Zweck von Schritt 1 besteht darin, divergierenden Größen wie z$G_0(x-x)$. Ein einfacher Weg, der für die funktioniert$\phi^4$Theorie ist die Pauli-Villars-Regularisierung:

$$\tilde G_0(p)=\frac{1}{p^2-m_0^2+i\varepsilon}\to \tilde G_0(p)_\Lambda = \frac{1}{p^2-m_0^2+\frac{(p^2)^2}{\Lambda^2}+\frac{(p^2)^3}{\Lambda^4}+i\varepsilon}.$$

In Schritt 2 können wir die Theorie auf einmal masselos machen und das von Ihnen berechnete abweichende Diagramm eliminieren. Das verlangen wir einfach$^1$:

$$\tilde G(p^2=0)^{-1}=0.$$ Dies stellt sicher, dass die physikalische Masse der durch die Theorie beschriebenen Teilchen Null ist, und wenn Sie den Propagator in erster Ordnung berechnen $g_0$, werden Sie auch feststellen, dass der konstante Wert des divergenten Diagramms genau durch die bloße Masse aufgehoben wird $m_0^2$.

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$^1$Eigentlich auf Erstbestellung$g_0$, reicht diese Bedingung aus, um die Theorie zu renormieren.

Ich habe gerade versucht, dieses Diagramm im Impulsraum zu berechnen, und ich denke, es liefert im masselosen Fall einen Nullbeitrag. Im Grunde liegt das daran, dass Sie innerhalb der Schleife ein ganzzahliges Like erhalten

$$\int \frac{\mathrm d^4 k}{(2\pi)^4} \frac{\mathrm i}{k^2 - m^2 + \mathrm i \epsilon} \,,$$ Wo $m = 0$. Ein Professor sagte, dass dieses Integral Null ergeben wird, weil für $m = 0$, gibt es keine Masse/Energie-Skala, die dieses Schleifenintegral untersuchen könnte. Ich erinnere mich, dass mich die Erklärung damals nicht befriedigte, eine bessere habe ich leider gerade nicht.

Dann auch bei Schleifen, es ist nicht ungewöhnlich, dass diese Unendlichkeiten ergeben. Dies wird zu einer Regularisierung und schließlich zu einer Renormalisierung führen, die sich wie die Büchse der Pandora anfühlt. Ihr Integral scheint zu divergieren, da es acht Potenzen von gibt$u$im Zähler (aus dem Integrationsmaß), aber nur sechs Potenzen im Nenner (aus den Green-Funktionen). Es könnte immer noch unendlich sein. Dann müssen Sie in den Impulsraum gehen und dimensionale Regularisierung verwenden.

Ich kann Ihnen die Impulsraumableitung dieses Kaulquappendiagramms mit dimensionaler Regularisierung geben, das ich vor ein paar Jahren als Hausaufgabe in der QFT-Klasse gemacht habe , an der ich teilgenommen habe. Sie können das Original und das überprüfte PDF herunterladen, um es vollständig zu lesen. Das ist der Auszug:

Das Endergebnis ist proportional zu$m$. Einstellung$m = 0$wird dieses währende Ding verschwinden lassen, daher scheint das Ergebnis in der masselosen Theorie Null zu sein.