Zwei mathematische Methoden wenden dasselbe Schleifenintegral an und führen zu unterschiedlichen Ergebnissen! Warum?

Ich habe versucht, den Cut-Off-Regler zu übernehmen, um ein einfaches Feynman-Diagramm mit einer Schleife zu berechnen$\phi^4$-Theorie mit zwei verschiedenen Mathetricks. Aber am Ende bekam ich zwei unterschiedliche Ergebnisse und fragte mich, ob es eine vernünftige Erklärung gibt.

Das Integral, das ich betrachte, ist das folgende

$$I=\int^\Lambda\frac{d^4 k}{(2\pi)^4}\frac{i}{k^2-m^2+i\epsilon} \qquad\text{where}\qquad \eta_{\mu\nu}=\text{diag}(-1,1,1,1)$$ $\Lambda$ist die cu-off-Energieskala und $\epsilon>0$. Dann mache ich die Berechnungen.

Methode #1 - Restsatz:

Seit

$$I=i\int\frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dk^0}{2\pi}\left[\frac{(2k^0)^{-1}}{k^0+z_0}+\frac{(2k^0)^{-1}}{k^0-z_0}\right] \qquad\text{where}\qquad z_0=\sqrt{|\vec{k}|^2+m^2}-i\epsilon$$ Auswahl der oberen Kontur in $k^0$-komplexe Ebene, die den Pol umschließt, $-z_0$, wir haben $$\begin{align} I &= \int\frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\pi i}\oint dk^0\frac{(-2k^0)^{-1}}{k^0+z_0}\\ &= \frac{1}{2}\int\frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{k^2+m^2}}\\ &= \frac{1}{4\pi^2}\int_0^\Lambda \frac{k^2dk}{\sqrt{k^2+m^2}}\\ &= \frac{1}{8\pi^2}\left[\Lambda^2\sqrt{1+\frac{m^2}{\Lambda^2}}-m^2\ln\left(\frac{\Lambda}{m}\bigg)-m^2\ln\bigg(1+\sqrt{1+\frac{m^2}{\Lambda^2}}\right)\right]\\ & \approx \frac{1}{8\pi^2}\left[\Lambda^2-m^2\ln\left(\frac{\Lambda}{m}\right)-m^2\ln2\right] \end{align}$$

Methode Nr. 2 – Dochtrotation:

Stangen zeichnen,$-z_0, z_0$, findet man, dass die Integrationskontur gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden kann, so dass

$$\begin{align} I &= i\int\frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3}\int_{-i\infty}^{+i\infty}\frac{dk^0}{2\pi}\frac{1}{k^2-m^2+i\epsilon}\\ &= -i\int\frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{idk_4}{2\pi}\frac{1}{k^2_E+m^2} \end{align}$$ Wo $k_4=-ik^0$Und $k_E^2=-k^2$, welche sind $4d$Euklidische Variablen. Also haben wir $$\begin{align} I&=\int\frac{d^4k_E}{(2\pi)^4}\frac{1}{k^2_E+m^2}\\ &=\frac{1}{16\pi^2}\int_0^{\Lambda^2}\frac{k_E^2 d(k_E^2)}{k^2_E+m^2}\\ &=\frac{1}{8\pi^2}\left[\frac{\Lambda^2}{2}-m^2\ln\left(\frac{\Lambda}{m}\right)-\frac{m^2}{2}\ln\left(1+\frac{m^2}{\Lambda^2}\right)\right] \end{align}$$ Beim Vergleich der Ergebnisse der beiden oben genannten Methoden finden wir nur die $\ln\Lambda$abhängige Teile sind gleich; Andere zwei Teile ( $\Lambda^2$-Abhängigkeit und endliches Stück) sind unterschiedlich. Da ich denselben Regler verwende, ist es mir ein bisschen ein Rätsel, wie sich die mathematischen Tricks auf die Ergebnisse auswirken könnten.