Dieses One-Loop-Diagramm für die ϕ4ϕ4\phi^{4}-Theorie - Renormierung und Wechsel in den Positionsraum

Dies hängt etwas mit einer früheren Frage zusammen, die ich zum folgenden Diagramm in gestellt habe$\phi^{4}$Theorie:

Ich habe diese Vorlesungsskripte von H. Kleinert und V. Schulte-Frohlinde verfolgt.

Sagen, wir sind dabei$D$-Dimensionen und in den Impulsraum übergehend, entspricht das obige Diagramm dem Folgenden:

$$- \lambda \int \frac{d^{D}p}{(2\pi)^{D}} \frac{1}{p^{2}+m^{2}} = - \lambda \frac{(m^{2})^{D/2}}{(4\pi)^{D/2}} \Gamma\left(1 - \tfrac{D}{2}\right)$$

Das Obige ist abweichend für$D=4$, also betrachten wir klein$\epsilon$wofür$4-D=\epsilon$. Wir betrachten einen beliebigen Massenparameter$\mu$, und führen eine dimensionslose Kopplungskonstante ein$g =\lambda \mu^{-\epsilon}$. Das Obige lautet dann:

$$= - m^{2} \frac{g}{(4\pi)^{2}} \left( \frac{4 \pi \mu^{2}}{m^{2}} \right)^{\epsilon/2} \Gamma\left( \tfrac{\epsilon}{2} - 1 \right)$$ Und das Ausführen einer Taylor-Erweiterung über klein $\epsilon$, finden wir, dass das Obige zu ( $\psi$ist die Digamma-Funktion): $$\approx m^{2} \frac{g}{(4\pi)^{2}} \left[ \frac{2}{\epsilon} + \psi(2) + \log\left( \frac{4 \pi \mu^{2}}{m^{2}} \right) + \mathcal{O}(\epsilon) \right]$$

$\ $

Ich bin daran interessiert, den Beitrag von oben im Positionsraum in der masselosen Grenze zu erhalten$m \to 0$. Ich habe zwei Fragen:

1. Im obigen Vorlesungsskript heißt es, dass das obige Diagramm IR-divergierend im Grenzwert ist$m^{2} \to 0$. Was bedeutet das genau ?

2. Wenn wir eine ankommende Dynamik haben$k$, und das obige Diagramm entspricht einer Funktion$\tilde{F}(k)$im Impulsraum, dann haben wir im Ortsraum einen Beitrag gegeben durch$F(x_{1},x_{2}) = \int \frac{d^{4}k}{(2\pi)^{4}} e^{- k \cdot (x_{1} - x_{2})} \tilde{F}(k)$. Wie mache ich das im Rahmen der dimensionalen Regularisierung? Darf ich das überhaupt? Wo ist die Abhängigkeit von$k$oben, dass ich sogar das Integral machen kann, und wie vervollständige ich dann dieses Integral?

Am Ende des Tages versuche ich, die Art der Divergenz für dieses Diagramm im Ortsraum (im masselosen Fall) zu verstehen.