Kann die dimensionale Regularisierung das Feinabstimmungsproblem lösen?

Question

Kann die dimensionale Regularisierung das Feinabstimmungsproblem lösen?

Physik
Feinabstimmung
Regulierung
Renormalisierung
Quantenfeldtheorie
Dimensionsregulierung

frei

Ich habe kürzlich gelesen, dass das dimensionale Regularisierungsschema "besonders" ist, weil Potenzgesetzdivergenzen fehlen. Es wurde argumentiert, dass Potenzgesetzabweichungen unphysikalisch seien und dass es kein Feinabstimmungsproblem gebe. Ich war sofort misstrauisch.

Lass uns nehmen $\lambda\phi^4$ Theorie. Für die renormierte Masse $m$ (keine physikalische Masse) mit dimensionaler Regularisierung,

m_{Phys}^{2} = m^{2} (μ) + m_{Phys}^{2} \frac{λ}{16 π^{2}} \ln (μ^{2} / m_{Phys}^{2})

$m^2_\text{phys} = m^2(\mu) + m^2_\text{phys}\frac{\lambda}{16\pi^2}\ln({\mu^2}/{m^2_\text{phys}})$ Das sieht vielversprechend aus, aber

m

$m$ ist eine renormierte Masse, kein echter Parameter einer Lagrange-Funktion, die durch eine neue Physik wie die Stringtheorie oder was auch immer festgelegt wird.

Für die Lagrange-Masse mit einem Cut-off-Regler gilt:

m_{Phys}^{2} = m_{0}^{2} (Λ) + \frac{λ}{16 π^{2}} Λ^{2}

$m^2_\text{phys} = m_0^2(\Lambda) + \frac{\lambda}{16\pi^2} \Lambda^2$ Das ist im Grunde das, was ich unter dem Problem der Feinabstimmung verstehe. Dafür bräuchten wir unglaubliche Stornierungen

m_{0} ≪ Λ

$m_0\ll \Lambda$ auf der niedrigen Skala. Hier verstehe ich

m_{0}

$m_0$ ein "echter" Parameter zu sein, der die Theorie bestimmt, wohingegen

m

$m$ Bei der dimensionalen Regularisierung war dieses Schema nur ein Zwischenparameter.

Ich vermute, dass diese beiden Gleichungen durch die Renormierung der Wellenfunktion zusammenhängen,

m_{0}^{2} = Z m^{2} = (1 + konst Λ^{2} / m^{2} + \dots) m^{2}

$m_0^2=Z m^2 = (1+\text{const}\Lambda^2/m^2 + \ldots) m^2$ Wenn ich richtig liege, hat sich mit der dimensionalen Regularisierung nicht viel verbessert. Wir haben die Feinabstimmung in der Renormierung der Wellenfunktion versteckt.

Sie sehen die Feinabstimmung in der dimensionalen Regularisierung nicht, weil Sie mit einer renormierten Masse arbeiten. Die bloße Lagrange-Masse $m_0$ ist derjenige, der durch irgendeine Physik, von der wir nichts wissen, auf die hohe Skala gesetzt wird. So ist es $m_0$ dass wir uns um die Feinabstimmung kümmern müssen. Mit dimensionaler Regularisierung sehen wir das $m$ ist nicht fein abgestimmt, aber das ist keine große Sache.

Habe ich etwas falsch verstanden? Ich habe das Gefühl, dass mir etwas fehlt. Kann die dimensionale Regularisierung das Feinabstimmungsproblem lösen? Ist die dimensionale Regularisierung wirklich etwas Besonderes?

BEARBEITEN

Ich assoziiere nicht unbedingt $\Lambda$ mit einem massiven Teilchen, nur einer massiven Größenordnung $m_0$ wird auf einen endlichen Wert gesetzt.

Es scheint mir, dass die dimensionale Regularisierung mir nicht helfen kann zu verstehen, wie $m_0$ Läufe oder die Abstimmung, die mit der Einstellung auf die hohe Skala verbunden ist, zumal dadurch Informationen über die Abweichungen ausgelöscht werden. Ich habe keine Ahnung, wie schnell ich das nehmen soll $\epsilon\to0$ Grenze.

Ich kann so etwas tun,

m_{0}^{2} = Z m^{2} = (1 + λ / ϵ) m^{2} m_{0}^{2} (ϵ_{1}) - m_{0}^{2} (ϵ_{2}) = m^{2} λ (1 / ϵ_{1} - 1 / ϵ_{2})

$m_0^2 = Z m^2 = ( 1 +\lambda/\epsilon) m^2\\ m_0^2(\epsilon_1) - m_0^2(\epsilon_2) = m^2 \lambda (1/\epsilon_1 - 1/\epsilon_2)$ Wenn ich jetzt nehme

ϵ_{1}

$\epsilon_1$ irgendwie so, dass es einem niedrigen Maßstab entspricht, und

ϵ_{2}

$\epsilon_2$ entspricht irgendwie einem hohen Maßstab.

m_{0}^{2} (ϵ_{1})

$m_0^2(\epsilon_1)$ muss für einen leichten Skalar klein sein. Aber dann muss ich die massive Zahl auf der rechten Seite mit der nackten Masse auf einer hohen Skala feinabstimmen. Die Feinabstimmung ist noch da. Zugegeben, das ist sehr informell, weil ich keine Ahnung habe, wie ich das wirklich interpretieren soll

ϵ

$\epsilon$

DJBunk

Ehrlich gesagt, wenn Sie einen Weg finden, zu interpretieren

\frac{1}{ϵ}

$\frac{1}{\epsilon}$ Abweichungen physikalisch rein basierend auf dim reg lassen Sie es mich wissen. Alle Argumente, die ich gesehen habe, basieren letztendlich auf der Intuition, die man von eher „physischen“ Reglern wie einem harten Cutoff oder Pauli-Villars bekommt.

Shiva

Jeder Regulator hat eine Meinung über die UV-Physik. Intuitiv denke ich, dass die dimensionale Regularisierung davon ausgeht, dass es keine neue UV-Physik gibt . Darüber hinaus besteht eine konsistente Möglichkeit zur Berechnung divergenter Integrale darin, die Potenzgesetz-Divergenzen einfach fallen zu lassen, was dim-reg tut. Es ist also insofern unphysikalisch, als Sie erwarten, neue UV-Physik zu sehen.

Antworten (2)

Kann die dimensionale Regularisierung das Feinabstimmungsproblem lösen?

Ehrlich gesagt, wenn Sie einen Weg finden, zu interpretieren $\frac{1}{\epsilon}$ Abweichungen physikalisch rein basierend auf dim reg lassen Sie es mich wissen. Alle Argumente, die ich gesehen habe, basieren letztendlich auf der Intuition, die man von eher „physischen“ Reglern wie einem harten Cutoff oder Pauli-Villars bekommt.
Jeder Regulator hat eine Meinung über die UV-Physik. Intuitiv denke ich, dass die dimensionale Regularisierung davon ausgeht, dass es keine neue UV-Physik gibt . Darüber hinaus besteht eine konsistente Möglichkeit zur Berechnung divergenter Integrale darin, die Potenzgesetz-Divergenzen einfach fallen zu lassen, was dim-reg tut. Es ist also insofern unphysikalisch, als Sie erwarten, neue UV-Physik zu sehen.

JeffDror · Answer 1

Dimensionsregularisierung (dh dim-reg) ist eine Methode, um divergente Integrale zu regulieren. Statt einzuarbeiten $4$ Dimensionen, in denen Schleifenintegrale divergieren, in denen Sie arbeiten können $4-\epsilon$ Maße. Dieser Trick ermöglicht es Ihnen, den divergierenden Teil des Integrals herauszufiltern, wie es bei einem Cutoff der Fall ist. Es behandelt jedoch alle Divergenzen gleich, sodass Sie mit dim-reg nicht zwischen einer quadratischen und einer logarithmischen Divergenz unterscheiden können. Alles, was es wirklich tut, ist die Feinabstimmung zu verbergen, nicht das Problem zu beheben.

Als Beispiel wollen wir die Massenrenormierung von tun $\phi^4$ Theorie. Das Diagramm gibt,

\int \frac{- ich λ}{2} \frac{ich}{ℓ^{2} - m^{2} + ich ϵ} \frac{d^{4} ℓ}{(2 π)^{4}} = lim_{ϵ \to 0} \frac{- ich λ}{2} \frac{- ich}{16 π^{2}} (\frac{2}{ϵ} + Protokoll 4 π - Protokoll m^{2} - γ)

$\begin{equation} \int \frac{ - i \lambda }{ 2} \frac{ i }{ \ell ^2 - m ^2 + i \epsilon } \frac{ d ^4 \ell }{ (2\pi)^4 } = \lim _{ \epsilon \rightarrow 0 }\frac{ - i \lambda }{ 2} \frac{ - i }{ 16 \pi ^2 } \left( \frac{ 2 }{ \epsilon } + \log 4 \pi - \log m ^2 - \gamma \right) \end{equation}$ wo ich die ``Master-Formel'' hinten von Peskin und Schoeder, pg. A.44 (beachten Sie, dass dies

ϵ

$\epsilon$ hat nichts damit zu tun

ϵ

$\epsilon$ im Vermehrer). Dies ergibt eine Massenrenormierung von

δ m^{2} = lim_{ϵ \to 0} \frac{λ}{32 π^{2}} (\frac{2}{ϵ} + Protokoll 4 π - Protokoll m^{2} - γ)

$\begin{equation} \delta m ^2 = \lim _{ \epsilon \rightarrow 0 } \frac{ \lambda }{ 32 \pi ^2 } \left( \frac{ 2 }{ \epsilon } + \log 4 \pi - \log m ^2 - \gamma \right) \end{equation}$ Nur den divergenten Teil behalten:

δ m^{2} = lim_{ϵ \to 0} \frac{λ}{16 π^{2}} \frac{1}{ϵ}

$\begin{equation} \delta m ^2 = \lim _{ \epsilon \rightarrow 0 } \frac{ \lambda }{ 16 \pi ^2 } \frac{ 1 }{ \epsilon } \end{equation}$ Dies ist das gleiche Ergebnis wie das, zu dem Sie oben gekommen sind, verwendet jedoch einen anderen Regler. Sie haben Ihr Integral mit einem Cut-off geregelt, ich mit dim-reg. Die Massenkorrektur divergiert als

\sim \frac{1}{ϵ}

$\sim \frac{1}{ \epsilon }$ . Hier wird die Empfindlichkeit gegenüber der UV-Physik gespeichert.

Ein Grenzwert, der eine dimensionsbehaftete Zahl ist, sagt etwas sehr Physisches aus, die Größenordnung der neuen Physik. Das $\epsilon$ ist unphysikalisch, nur ein nützlicher Parameter.

Bei einem Cutoff erhältst du, je nachdem wie stark deine Divergenz ist, eine unterschiedliche Skalierung beim Cutoff; es wird entweder logarithmisch, quadratisch oder quadratisch sein (was eine echte physikalische Bedeutung hat, nämlich wie empfindlich das Ergebnis auf die Hochenergiephysik reagiert). Dim-reg-regulierte Integrale divergieren jedoch immer auf die gleiche Weise, wie z $\frac{1}{ \epsilon }$ . Dim-reg kümmert sich nicht darum, wie Ihr Integral divergiert. Es kann ein logarithmisch divergentes Integral sein, aber mit dim-reg erhalten Sie immer noch a $\frac{1}{ \epsilon }$ Abhängigkeit. Der Grund dafür ist der $\epsilon$ ist hier keine physikalische Größe. Es ist nur ein nützlicher Trick, um die Integrale zu regulieren.

Da dim-reg die Art der Divergenzen, die Sie haben, verbirgt, sagen die Leute gerne, dass dim-reg das Problem der Feinabstimmung löst, weil Sie durch die Verwendung nicht sehen können, wie stark Ihre Divergenz ist. Dieser Standpunkt ist eindeutig fehlerhaft, da die quadratischen Divergenzen immer noch vorhanden sind, sie scheinen nur auf der gleichen Grundlage zu stehen wie logarithmische Divergenzen, wenn Sie dim-reg verwenden.

Kurz gesagt, das Feinabstimmungsproblem wird mit dim-reg nicht wirklich behoben, aber wenn Sie es verwenden, können Sie so tun, als ob das Problem nicht hier wäre. Dies ist keineswegs eine Lösung für die Feinabstimmung, es sei denn, jemand entwickelt eine Intuition dafür, warum dim-reg der „richtige“ Weg ist, Ihre Integrale zu regulieren, dh eine physikalische Bedeutung für $\epsilon$ (wobei man mit Sicherheit sagen kann, dass es keinen gibt).

Vielen Dank. Wo versteckt sich die Feinabstimmung im Dim. Reg.? Können Sie explizit sein? Mit dim. reg., was ist der einfachste Weg, um zu sehen, dass die UV-Empfindlichkeit für Skalarfelder noch vorhanden ist?
Ich habe die Antwort etwas aktualisiert. Die Sensibilität für neue Physik liegt darin, dass $1/\epsilon$ weicht ab. Die Massenkorrektur ist unendlich und daher ist die Theorie fein abgestimmt. Der Punkt ist, dass dies bei Verwendung von dim-reg auftreten würde, unabhängig davon, ob Sie eine logarithmische Divergenz (gut) oder eine quadratische (schlecht) haben. Aber die Art der Divergenz ist das Hauptunterscheidungsmerkmal zwischen natürlichen und unnatürlichen Theorien.
Ich bin mit dieser Antwort wirklich nicht einverstanden, aber ich stimme nicht ab, weil ich sie in dieser Situation etwas antagonistisch finde. Ich habe meine Antwort unten gepostet, bitte zögern Sie nicht zu kommentieren und wir können diskutieren.
@DJBunk: Scheint mir, als hätten wir ähnliche Antworten ... Ich bin mir nicht sicher, womit Sie nicht einverstanden sind. Dass dim-reg die Feinabstimmung verbirgt? Wenn Sie immer dim-reg verwenden, werden Sie nie wissen, wann Sie Log-Divergenzen und wann quadratische Divergenzen haben. In diesem Sinne verbirgt es sich also. Das meinen die Leute, wenn sie sagen (und die Leute sagen es auch), dim-reg zu verwenden und sich keine Gedanken über die Feinabstimmung zu machen. Obwohl ich deutlich betont habe, stimme ich dieser Ansicht überhaupt nicht zu.
@DJBunk schreibt, dass Sie ohne supermassive Partikel überhaupt keine FT bekommen.
@innisfree, indem wir einen Cutoff schreiben, meinen wir, dass unsere Theorie einige massive Teilchen enthält. Der Grenzwert ist die neue Physik in einem gewissen Maßstab.
@ JeffDror warum müssen Sie schwere Partikel angeben? Läuft die RG nicht genug? Alles, was ich sagen muss, ist, dass irgendwie mein Parameter $m_0$ ist hoch eingestellt, Lambda. Dann macht der RG-Lauf einen leichten Skalar unnatürlich.
@innisfree: Ich bin mir nicht sicher, was Ihre Abstimmung mit RG läuft? Tuning tritt auf, wenn 2 Parameter auf eine große Anzahl von Dezimalstellen gestrichen werden müssen, um mit der Natur übereinzustimmen. Dies tritt auf, wenn quadratische Divergenzen entstehen, denn wenn wir nehmen $\Lambda$ dann die Planck-Skala sein $(10 ^{19} \mbox{GeV})^2$ (die Menge, die mit den Gegenbedingungen storniert werden muss) ist eine riesige Zahl.
Ja ja :) nehmen $\Lambda\sim M_P$ , vermuten $m_0^2(M_P)$ wird durch eine fundamentale Theorie festgelegt. Wenn der Skalar leicht sein soll, brauchen wir eine Feinabstimmung. Aber die Physikeinstellung $m_0$ es müssen keine schweren Partikel damit verbunden sein. Es reicht aus, dass es eine schwere Skala gibt, bei der $m_0$ eingestellt ist. Die exakte Wilson-Gruppe muss das nicht angeben $\Lambda$ ist ein massives Teilchen.
@JeffDror - was ich meine, ist, dass selbst eine schwache Ausrichtung die Abstimmung gegen eine physikalische Skala wie die eines massiven Partikels nicht verbirgt, und das ist die Feinabstimmung, auf die es ankommt. Das heißt, beginnen Sie mit einem Modell, bei dem einige schwere Teilchen mit einigen leichten Skalarfeldern gekoppelt sind, und integrieren Sie die schweren Fermionen heraus - dann sehen Sie die Feinabstimmung in jedem Regularisierungsverfahren, Dim-Reg oder auf andere Weise.
@DJBunk, Ja, ich stimme dir zu. Da Sie immer noch eine physikalische Skala in die von Ihnen erwähnte Technik einführen werden, haben Sie immer noch eine Feinabstimmung. Wenn jedoch Leute (nicht ich!) sagen, verwenden Sie einfach dim-reg und vergessen Sie die Feinabstimmung, stehe ich zu dem, was ich in Bezug auf das, was sie meinen, gesagt habe - tun Sie einfach so, als gäbe es keine andere Skala und verwenden Sie dim-reg, was hilft. t verschiedene Arten von Divergenzen unterscheiden.

DJBunk · Answer 2

DJBunk

Die von Ihnen beschriebene Feinabstimmung ist in der nicht vorhanden $\phi^4$ Modell. Sie brauchen einige andere schwere Felder in der Nähe, um es zu sehen. Koppeln Sie zum Beispiel Ihre $\phi$ zu einem schweren Fermion der Masse M, dann, wenn Sie eine Verschiebung in Ihrer Masse haben werden $\delta m^2 \sim M^2$ . Es wird andere Faktoren geben $\pi$ und Kopplungskonstanten und dergleichen, aber das Problem bleibt - für große M müssen Sie den bloßen Parameter einstellen $m_0$ um den richtigen Wert zu erhalten $m_{\text{physical} }$ . So ausgedrückt, tritt das Feinabstimmungsproblem bei einem harten Cutoff oder einer schwachen Ausrichtung auf.

Dies bezieht sich auf Ihre ursprüngliche Frage in folgender Weise. Wenn Sie einen harten Cutoff verwenden, integrieren Sie bis zu $\Lambda$ . Aber was ist $\Lambda$ ? Es ist die Skala der neuen Physik, die in diesem Fall die Skala des schweren Fermions ist, das wir herausintegriert haben, nämlich M.

Um Ihre Frage abschließend zu beantworten - no dim reg löst das Feinabstimmungsproblem absolut nicht. Darüber hinaus verdeckt es es nicht einmal, alle gleichen Pathologien sind immer noch da.

frei

Ich bin mir nicht sicher, ob ich folgen kann. Warum muss ich assoziieren

Λ

$\Lambda$ mit einem neuen supermassiven Teilchen? Warum kann ich nicht einfach sagen,

Λ

$\Lambda$ ist eine hohe Skala, auf der mein Lagrange-Parameter liegt

m_{0}^{2}

$m_0^2$ wird durch eine grundlegendere Theorie festgelegt? Dann sehe ich eine höllische Feinabstimmung im RG laufen. Aber wo ist das in dim reg?

frei

Übrigens ja, ich stimme zu, dass, wenn es eine massive Partikel-Dim-Reg gibt, das Feinabstimmungsproblem genau wie die abgeschnittene Regularisierung angezeigt wird

DJBunk

@innisfree: Es ist wie JeffDror oben sagte -

Λ

$\Lambda$ , der Grenzwert, ist die Energieskala, bei der unser Modell versagt und neue Physik ins Spiel kommt. Die Energieskala, bei der unser Modell versagt, ist diejenige, bei der es neue Massenteilchen gibt

Λ

$\Lambda$ die wir sonst ignorierten.

frei

Massive Partikel sind für das Argument nicht notwendig, nur eine massive Skala ist unbedingt erforderlich. Es ist plausibel, dass die massive Skala vorhanden ist, weil sie mit einem neuen massiven Teilchen assoziiert ist. Aber auf der anderen Seite könnten die Eigenschaften der neuen Physik sehr speziell sein.

frei

So

Λ

$\Lambda$ muss nicht einem massiven Teilchen entsprechen. Das heißt, es gibt keine andere Möglichkeit, Dim Reg etwas über neue Physik auf der Skala zu "erzählen".

Λ

$\Lambda$ , also ist es vielleicht sinnvoll, ein Masseteilchen einzubauen

Λ

$\Lambda$ um die neue Physik darzustellen, unabhängig davon, ob es sich wirklich um ein massives Teilchen handelt

DJBunk

@innisfree Ich verstehe, was du sagst

Λ

$\Lambda$ muss nicht einem massiven Teilchen entsprechen, und ich stimme zu. Ich würde noch weiter gehen und Folgendes sagen: Angenommen, Sie haben ein Modell mit einem leichten Skalarfeld. Und sagen wir, es gibt keine neuen massiven Teilchen, die ignoriert werden, und keine neue Physik der Skala M, die perturbative ODER nicht-perturbative Korrekturen an Ihrem Lichtskalar erzeugt. Dann würde ich sagen, dass Ihr Modell absolut nicht fein abgestimmt ist.

DJBunk

Zum Beispiel: Nimm das Spielzeug

ϕ^{4}

$\phi^4$ Modell, das Sie oben beschreiben - ich würde sagen, dieses Modell ist nicht fein abgestimmt. Dies ist jedoch nur ein Spielzeugmodell. Ein echtes Teilchen von Interesse ist das Higgs und dies ist nur ein

ϕ^{4}

$\phi^4$ Modell in der unteren Energiegrenze. Es ist sehr wahrscheinlich, dass es neue Physik gibt, die mit dem Higgs spricht, was zu einer Feinabstimmung seiner Masse führt. Zumindest gibt es Schwerkraft und würde neue Teilchen der Planck-Masse erwarten.

DJBunk

Das heißt, vorausgesetzt, man könnte solche nicht störenden Korrekturen tatsächlich berechnen.

frei

Bei dem von Ihnen beschriebenen Modell ist es unmöglich, etwas über die bloßen Parameter zu sagen, also stimme ich zu. stimmen Sie zu, dass eine schwere Skala bei der

m_{0}^{2} (Λ)

$m_0^2(\Lambda)$ ist genug eingestellt, um FT einzuführen? auch wenn es KEINE massiven Teilchen gibt

M \sim Λ

$M\sim\Lambda$ ?

frei

ok Martins SUSY-Fibel bringt es schön auf den Punkt ... "Das obige Argument gilt nicht nur für schwere Partikel, sondern für beliebige hochskalige physikalische Phänomene wie Kondensate oder zusätzliche verdichtete Dimensionen."

DJBunk

@innisfree - Eine Sache, die ich aus meinem vorherigen Kommentar vergessen habe, gibt es tatsächlich eine physikalische Skala, an der man sich fein abstimmen kann

ϕ^{4}

$\phi^4$ Theorie. Dort liegt der Landauer Pol

m e^{16 π^{2} / (3 g)}

$m \ e^{ 16 \pi^2 / (3 g )}$ wobei m die Masse des Teilchens und g die quartische Wechselwirkung auf der messbaren Energieskala ist. Hier greift also mein vorheriges Argument auf - wir erwarten, dass sich neue Teilchen oder eine andere neue Physik in dieser Größenordnung abstimmen und so weiter ...

DJBunk

@innisfree - meinst du damit, dass Martin's Primer deine Frage aus 2 Zeilen oben beantwortet hat? Wenn ja, wo genau sagt er das? Wenn er ein klareres Argument vorbringt, würde ich es gerne lesen.

frei

OK! Ich denke, wir haben uns jetzt irgendwie verstanden. Martin macht es ehrlich gesagt nicht so deutlich. Ich finde seine Diskussion in der Einleitung etwas widersprüchlich. Baer & Tata, sagt

Λ

$\Lambda$ "unbekannte schwere Partikel" oder kann dem Zusammenbruch von SM entsprechen, weil "neue Formfaktoren" mit starken Effekten verbunden sind. Die allerletzte Seite von Prof. Lutys Notizen, physical.umd.edu/courses/Phys851/Luty/notes/renorm.pdf , kommt meinem Standpunkt am nächsten