Gibt es ein Blockspin-Renormierungsgruppenschema, das die Kramers-Wannier-Dualität bewahrt?

Die Block-Spin-Renormalisierungsgruppe (RG) (oder Realraum-RG) ist ein Ansatz zur Untersuchung statistischer Mechanikmodelle von Spins auf dem Gitter. Insbesondere interessiere ich mich für das quadratische 2D-Gittermodell mit Freiheitsgraden vor Ort (dh Spins) als Elemente$g_i$in einer endlichen abelschen Gruppe$g_i\in G$, und die Partitionsfunktion hat die folgende Form

$$\begin{split}Z&=\sum_{[g_i\in G]}e^{-S[g_i]},\\S[g_i]&=-\sum_{\langle ij\rangle}K(g_i^{-1}g_j),\end{split}$$

Wo$K(g)$ist eine geeignete Gruppenfunktion ($K:G\to\mathbb{R}$), um die Gruppenelemente zu bestrafen, die sich von der Identität unterscheiden. Der Blockspin RG unterteilt das Gitter in kleine Blöcke (bezeichnet mit$I,J$) und schreiben Sie die Aktion in Bezug auf die Blockdrehung um$g_I\sim\sum_{i\in I}g_i$(wie man die Summe einem Element wieder zuordnet$g_I\in G$hängt vom RG-Schema ab), so dass die Partitionsfunktion umgeschrieben werden kann als

$$Z=\sum_{[g_I\in G]}\sum_{[g_i\in G]}\delta\big[g_I\sim\textstyle{\sum}_{i\in I}g_i\big]e^{-S[g_i]}=\sum_{[g_I\in G]}e^{-S'[g_I]},$$

wo die neue Aktion die Form annimmt

$$S'[g_i]=-\sum_{\langle IJ\rangle}K'(g_I^{-1}g_J)+\cdots.$$

Durch Weglassen von unter RG erzeugten Termen höherer Ordnung kann die RG-Prozedur als Funktionsabbildung betrachtet werden$\mathcal{R}$das übernimmt die Gruppenfunktion$K(g)$Zu$K'(g)$.

Andererseits ein solches Modell einer endlichen abelschen Gruppe$G$auf dem quadratischen Gitter gibt die Kramers-Wannier-Dualität zu. Der Schlüsselschritt der Dualität ist eine Fourier-Transformation (auf der Abelschen Gruppe$G$)

$$e^{-\tilde{K}(\tilde{g})}=\sum_{g\in G}e^{-K(g)}\;\chi(g,\tilde{g}),$$

Wo$\tilde{g}$ist eine Darstellung von$G$, Und$\chi(g,\tilde{g})$ist der Charakter. Aufgrund der Tatsache, dass die Darstellung einer endlichen abelschen Gruppe$G$bildet auch eine endliche abelsche Gruppe$\tilde{G}$, Und$\tilde{G}$ist isomorph zu$G$(was bedeutet, dass die duale Gruppe$\tilde{G}$ist das gleiche wie$G$). In Kombination mit der Tatsache, dass das duale Gitter des quadratischen Gitters immer noch ein quadratisches Gitter ist, kann die Kramers-Wannier-Dualität als eine bijektive funktionale Abbildung betrachtet werden$\mathcal{D}$das Karten$K(g)$Zu$\tilde{K}(g)$(und umgekehrt).

Allerdings ist für mich nicht ersichtlich, dass der Blockspin-RG die Kramers-Wannier-Dualität bewahrt. Ich denke im Allgemeinen die RG-Transformation$\mathcal{R}$nicht garantiert mit der Dualitätstransformation pendelt$\mathcal{D}$, oder sagen wir, das folgende Diagramm pendelt im Allgemeinen nicht :

$$\begin{array}{lllllll} K & \overset{\mathcal{R}}{\to} & K' & \overset{\mathcal{R}}{\to} & K'' & \overset{\mathcal{R}}{\to} \cdots\\ \updownarrow\tiny\mathcal{D} & & \updownarrow\tiny\mathcal{D} & & \updownarrow\tiny\mathcal{D} & \\ \tilde{K} & \overset{\mathcal{R}}{\to} & \tilde{K}' & \overset{\mathcal{R}}{\to} & \tilde{K}'' & \overset{\mathcal{R}}{\to} \cdots \end{array}$$

Die Frage ist also, wie man das Block-Spin-RG-Schema so gestaltet, dass das obige Diagramm pendelt. Gibt es ein systematisches Design des Blockspin-RG-Schemas, das die Kramers-Wannier-Dualität bewahrt?