Korrelationslänge im Ising-Modell d>1, bei Nulltemperatur

Die Korrelationslänge unterhalb der kritischen Temperatur kann anhand der Rate des exponentiellen Abfalls der abgeschnittenen 2-Punkt-Funktion definiert werden, die in einem reinen Zustand ausgewertet wird (ich wähle diejenige, die durch die$+$Randbedingung), nämlich

$$\xi_\beta(\vec n) = \lim_{k\to\infty} -\frac1k \log \langle \sigma_0 ; \sigma_{[k\vec n]}\rangle^+_\beta,$$ Wo $\vec n$ist ein Einheitsvektor in $\mathbb{R}^d$Und $[k\vec n]$ist der Punkt von $\mathbb{Z}^d$dem Punkt am nächsten $k\vec n$In $\mathbb{R}^d$. Ich habe die Standardnotation verwendet $$\langle \sigma_i ; \sigma_j\rangle^+_\beta = \langle \sigma_i \sigma_j\rangle^+_\beta - \langle \sigma_i \rangle^+_\beta\langle \sigma_j\rangle^+_\beta$$ für die abgeschnittene 2-Punkt-Funktion (die Kovarianz zwischen den Spins). Hier, $\langle\cdot\rangle^+_\beta$bezeichnet die Erwartung bzgl. des (unendlichen Volumens) Gibbs-Zustands, der erhalten wird, indem man die thermodynamische Grenze mit nimmt $+$Randbedingung und inverse Temperatur $\beta$.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Korrelationslänge zu zeigen$\xi_\beta$geht in der Tat zu$0$als$\beta\uparrow\infty$. Möglicherweise ist eine der einfachsten (wenn auch etwas mühsamen) Techniken zur Cluster-Erweiterung (siehe zB Abschnitt 5.7.4 dieses Buches ).

Die Hauptsache ist, dass der Mittelwert der Spins unterhalb der kritischen Temperatur ungleich Null wird, aber die Schwankungen um diesen Mittelwert im Grenzwert völlig unkorreliert werden. Moralisch, um die Schwankungen zweier Spins zu korrelieren$i$Und$j$, müssen Sie eine Peierls-Kontur haben, die beide umgibt$i$Und$j$, und die Wahrscheinlichkeit dafür geht zu$0$exponentiell schnell ein$\beta\|j−i\|$(Wenn$\beta>\beta_{\rm c}$).

Es gibt mehrere Gründe, warum Sie oben mit einem reinen Zustand (oder genauer gesagt einem extremalen Gibbs-Maß) arbeiten müssen. Einer ist, dass dies die Zustände sind, die dem thermodynamischen Gleichgewicht entsprechen: die einzigen, für die beispielsweise alle makroskopischen Observablen deterministische Werte annehmen. Beachten Sie, dass Sie, wenn Sie den mit freien (oder periodischen) Randbedingungen erhaltenen Zustand betrachten würden, tatsächlich sehen würden, dass sich die abgeschnittene 2-Punkt-Funktion auf die übliche 2-Punkt-Funktion reduziert,

$$\langle \sigma_i; \sigma_j \rangle^{\rm free}_\beta = \langle \sigma_i \sigma_j \rangle^{\rm free}_\beta$$ und diese Mengen verschwinden nicht als $\|j-i\|\to\infty$Wenn $\beta>\beta_{\rm c}$(Stattdessen konvergiert es zum Quadrat der spontanen Magnetisierung $m^*(\beta)$). Beachten Sie auch das, obwohl $\langle \sigma_i\rangle^{\rm free}_\beta = 0$, gibt es in typischen Konfigurationen eine spontane Magnetisierung: Die Erwartung ist nur deshalb Null, weil diese spontane Magnetisierung ist $m^*(\beta)$oder $-m^*(\beta)$mit Wahrscheinlichkeit $1/2$. Tatsächlich wird eine typische Konfiguration unter dieser Maßnahme typisch für eines der beiden sein $+$Staat oder der $-$Zustand mit Wahrscheinlichkeit $1/2$, also sollte jede natürliche Art und Weise, auf die Sie sich entscheiden, die Korrelationslänge von Konfigurationen unter diesen reinen Zuständen zu messen, Ihnen die gleiche Antwort unter dem freien Zustand geben. Der Grund, warum Sie dies nicht wie oben durch die abgeschnittene 2-Punkt-Funktion tun können, ist, dass die Erwartung beginnt, die Beiträge der beiden möglichen makroskopischen Verhaltensweisen zu verwechseln, die durch die reinen Zustände beschrieben werden, aber dies entspricht nichts physikalisch Relevantem.