Freiheit in der Wahl einer Beta-Funktion in RG

Angenommen, wir haben ein bestimmtes statistisches Modell, sagen wir das Ising-Modell mit unendlicher Reichweite

$$\begin{equation} H_{N}\{\vec\sigma_{N}\}~=~ - \frac{x_{N}}{2N} \sum_{i,j =1}^{N} \sigma_{i} \sigma_{j} \end{equation}$$

mit$N\rightarrow\infty$, Wo$N$ist die Anzahl der Drehungen,$\sigma_{i} \in \{ \pm 1 \}$für alle$i\in\{ 1..N \}$,$\vec\sigma_{N} = (\sigma_{1}, ... , \sigma_{N})$Und$x_{N}:=\beta J$wobei J die Kopplungsstärke zwischen den Spins ist. Zusätzlich$\beta := \frac{1}{k_{B}T}$mit$k_{B}$die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur.

An der Grenze$mx\ll1$man kann eine Renormierungsprozedur des Formulars implementieren$Z_{N}(x_{N}) = \exp(-f_{N}(x_{N})) \cdot Z_{N-1}(x_{N-1})$wobei ein Schritt im RG-Prozess intuitiv aus der Reduktion einer Spinstelle besteht. In der Grenze als$N\rightarrow\infty$den Verlauf der Kopplungskonstanten kann man als Differentialgleichung der Form aufschreiben$\frac{dx}{dl} = (-x + x^{2})$wo das Vektorfeld$\beta(x):=-x + x^{2}$wird üblicherweise als Beta-Funktion bezeichnet.

Mir wurde gesagt, dass die wichtigste "Physik" (was höchstwahrscheinlich kritische Exponenten bedeutet) der RG vollständig in den kritischen Punkten der Beta-Funktion enthalten ist, dh dem x für which$\beta(x)=0$. Insbesondere wurde mir gesagt, dass man das ändern kann$\beta$-funktionieren "willkürlich", solange die kritischen Punkte gleich sind. Also im Prinzip könnte man verwenden$\beta'$anstatt$\beta$Wo$\beta'$hat die gleichen Nullstellen wie$\beta$und erhalten die gleiche Physik. Insbesondere könnte ich zB zu einer Neuskalierung, dh wählen$\beta' := \lambda \cdot \beta$für eine reelle Zahl$\lambda$.

Ich verstehe nicht wirklich, warum das stimmt? Im Fall von Einkopplungskonstanten ist es etwas verständlich, da man die "Geschwindigkeit" sozusagen nur verringert, wenn man sich von einem kritischen Punkt zum anderen bewegt. Aber wenn man im RG-Prozess mehr Kopplungskonstanten hat (z. B. ein Magnetfeld), verstehe ich nicht, warum dies der Fall sein sollte? Gibt es eine gewisse generelle Freiheit bei der Wahl einer Beta-Funktion?

Ich freue mich auf eure Antworten :)