Beispiele für wichtige bekannte Universalitätsklassen neben Ising

Ich arbeite mit RG und habe eine ziemlich gute Vorstellung davon, wie es funktioniert. Ich habe jedoch festgestellt, dass, obwohl die Idee der Universalitätsklasse sehr allgemein ist und es ermöglicht, kritische Systeme zu klassifizieren, Lehrbücher anscheinend immer mit dem Ising-Modell als Beispiel enden. Infolgedessen ist mein Wissen über andere Universalitätsklassen sehr gering.

Meine Frage ist einfach: Welche anderen Universalitätsklassen gibt es und welche Eigenschaften haben sie?

Ich weiß, dass es so viele Universalitätsklassen wie RG-Fixpunkte gibt, daher kann meine Frage nie vollständig beantwortet werden. Eine Liste von 4 oder 5 (Gleichgewichts-)Universalitätsklassen, die gut etabliert und verstanden sind, würde mir jedoch das Gefühl geben, dass es da draußen mehr als nur das Ising-Modell gibt.

Über Literaturhinweise freue ich mich natürlich sehr. Die Rezensionen, die ich zu RG kenne, konzentrieren sich normalerweise auf allgemeine Aspekte und geben nur wenige Beispiele.

Fragen vom Typ große Listen werden auf dieser Seite nicht empfohlen. Vielleicht möchten Sie versuchen, Ihren Fokus einzugrenzen.
Deshalb habe ich den letzten Absatz hinzugefügt. Wenn ich wüsste, wie man es eingrenzt, würde ich die Frage nicht stellen.
Der Ausdruck „am wichtigsten“ basiert ebenfalls auf Meinungen (jemand, der X macht, würde zustimmen, dass X am besten ist, während jemand, der Y macht, zustimmen würde, dass Y am besten ist).
Dieser Meta-Beitrag zu Big-List-Fragen könnte hier relevant sein.
@Ali Ich habe Ihren Kommentar bearbeitet, um auf die ursprüngliche Frage zu verlinken, um den Leuten den richtigen Kontext zu geben.
Außerdem möchte ich anmerken, dass das Problem wirklich bei Fragen liegt, die den Antwortstil "eine Antwort pro Beitrag" fördern. Wenn jemand eine Antwort mit der gesamten Liste an einem Ort veröffentlichen würde, wäre das in Ordnung. Und ich denke, es ist möglich, diese Frage so zu bearbeiten, dass sie dazu auffordert. Gedanken?
Vielleicht könnte die Frage so formuliert werden: "Gibt es eine bekannte Klassifikation von Universalitätsklassen für (hier relevante Ganzzahl einfügen)-dimensionale Feldtheorien?" Wenn ja, ist es möglich, diese Klassifikation auf prägnante Weise zu schreiben? Wie sieht das aus?" Ich denke, in einer solchen Form ist das eine sehr nützliche konzeptionelle Frage.
Universalitätsklassen werden nach Raumdimensionalität und realisierten Symmetrien klassifiziert. Das sagen die Lehrbücher, bevor es zum Ising-Modell geht. Ich frage nach konkreten Beispielen.
@StevenMathey Richtig: Ich versuche, Ihnen hier zu helfen, damit diese Frage nicht geschlossen wird.
Tut mir leid, ich glaube nicht, dass ich das Problem verstehe. Ich weiß, dass ich viel verlange, aber eine Teilantwort wäre schon toll. Wenn 2 oder 3 Personen ihre bevorzugte Universalitätsklasse beschreiben, bin ich zufrieden.
Ich bin heute darüber gestolpert . Es ist nicht vollständig, aber ein sehr guter Anfang.
Wir haben eine ziemlich umfassende Vorstellung von einer Vielzahl statischer Universalitätsklassen für Gleichgewichtssysteme, die von der SAW bis zu einem nichtlinearen Sigma-Modell mit n Komponenten reichen (alle in verschiedenen Dimensionen), aber die Exponenten für viele davon sind immer noch spekulativ und mutmaßlich (heuristisch oder durch RG oder Numerik oder eine andere Methode). Das Problem, auf das andere hingewiesen haben, ist das Fehlen exakt lösbarer Modelle zur Charakterisierung nicht-trivialer Universalitätsklassen. Andererseits ist die Klassifikation dynamischer Universalitätsklassen viel reichhaltiger und es ist viel weniger über sie bekannt.
Sie kennen sie vielleicht schon, aber ein paar Referenzen, die ich kenne, sind „Lectures On Phase Transitions And The Renormalization Group“ von Nigel Goldenfeld und „Critical Dynamics“ von Uwe Tauber. Hoffe sie helfen!
Bevor ich gedankenlos in der Domb & Green-Sammlung herumwühle, empfehle ich dringend , die UC-Berichterstattung über Jean Zinn-Justins klassisches Quellenbuch, Quantum Field Theory and Critical Phenomena (International Series of Monographs on Physics) 4th Edition, International Series of Monographs on Physics ( Buch 113), Clarendon Press; 4. Auflage (15. August 2002) ISBN-10: 0198509235

Antworten (2)

Zwei Systeme, die zu derselben Universalitätsklasse gehören, haben dieselben kritischen Exponenten.

Es gibt viele Dinge, die die Universalitätsklasse eines Systems bestimmen, eines davon ist seine Dimension.

Das 2D-Ising-Modell ist eines der am besten untersuchten Systeme in der statistischen Mechanik, da es eine exakte Lösung zulässt , die 1944 von Lars Onsager gefunden wurde. Seine kritischen Exponenten sind:

a = 0       β = 1 / 8       γ = 7 / 4       δ = fünfzehn       v = 1       η = 1 / 4

Aber nehmen wir die (experimentellen) Werte der kritischen Exponenten für das 3D-Ising-Modell :

a = 0,110       β = 0,327       γ = 1.24       δ = 4,79       v = 0,630       η = 0,0364

Das 3D-Ising-Modell gehört also einer anderen Universalitätsklasse an. Oder wir können 2D -Perkolation nehmen (die exakt lösbar ist):

a = − 2 / 3       β = 5 / 36       γ = 43 / 18       δ = 91 / 5       v = 4 / 3       η = 5 / 24

Also eine andere Universalitätsklasse. Andere Universalitätsklassen werden beispielsweise die der 3D-Perkolation, des Heisenberg-Modells oder des Van-der-Waals-Gases sein . Hier ist eine Liste .

Ich schließe damit, dass jedes System eine obere kritische Dimension hat (z. B. D = 4 für das Ising-Modell und D = 6 für die Perkolation), oberhalb derer die kritischen Exponenten konstant werden und mit der Mean-Field-Theorie berechnet werden können. Die Mittelfeldwerte der kritischen Exponenten sind:

a = 0       β = 1 / 2       γ = 1       δ = 3       v = 1 / 2       η = 0

Diese Werte sind dieselben wie die des Van-der-Waals-Gases; so das VdW Gas, das 4 ( 5 , 6 , 7... ) -D Ising-Modell und das 6 ( 7 , 8 , 9... ) -D Perkolation sind Beispiele für Systeme, die zu derselben Universalitätsklasse gehören: der mittleren Feldklasse.

Diese Antwort scheint mit dieser unbeantworteten Frage ziemlich verwandt zu sein . Gibt es eine einfache Antwort?

Andere Beispiele sind

Die Ashkin-Teller- und Potts-Modelle können auf das 8-Vertex-Modell abgebildet werden. Letzteres wird dann auf das Coulomb-Gas abgebildet, dessen kritische Eigenschaften aus RG bekannt sind.

+1. Schöne Beispiele! Es scheint mit dieser Frage verwandt zu sein , gibt es eine einfache Antwort?
Beispiele für wichtige bekannte Universalitätsklassen neben Ising
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