Kritische Temperatur und Gittergröße mit dem Wolff-Algorithmus für das 2D-Ising-Modell

Wenn ich meine Implementierung des Wolff-Algorithmus auf dem quadratischen Ising-Modell bei der theoretischen kritischen Temperatur ausführe, erhalte ich ein unterkritisches Verhalten. Das Gitter oszilliert hauptsächlich nur zwischen überwiegend positiven und überwiegend negativen Zuständen. Ich finde, dass ich die Temperatur erhöhen muss, um ein Verhalten zu bekommen, das kritisch aussieht.

Zuerst dachte ich, es sei ein Fehler im Programm, aber das Verhalten macht tatsächlich Sinn. Auf einem unendlichen Gitter sollte der Wolff-Algorithmus Cluster aller Größen erzeugen T C . Dies bedeutet, dass die meisten Cluster, die es zu erzeugen versucht, größer sind als das in der Simulation verwendete Gitter, und die meisten Cluster erreichen schließlich die Grenzen und füllen den größten Teil des Gitters aus. Es geht auch auf den Punkt zurück, auf den Kadanoff immer hingewiesen hat, dass wahre Kritikalität nur in unendlichen Systemen möglich ist.

Ich finde, dass ich bei etwas höheren Temperaturen kritisches Verhalten bekomme, als die Theorie vorhersagt. Die erforderliche Temperatur steigt mit abnehmender Gittergröße.

Gibt es Literatur zu diesem Effekt?

Wie wird das in der Praxis kompensiert?

Gibt es eine Formel für die Temperaturanpassungen für verschiedene Gittergrößen?

Dies ist ein gut verstandener Finite-Size-Effekt, der sich aus der Tatsache ergibt, dass die Korrelationslänge in Ihrem System nicht größer als die Systemgröße werden kann. Es impliziert eine Verschiebung des (scheinbar) kritischen Punkts der Ordnung 1 / N , wenn Sie auf einem sind N × N Torus. AFAIK, dies wurde erstmals 1969 von Ferdinand und Fisher untersucht (Phys. Rev. 185, 832).
@YvanVelenik: Wenn Sie das ein wenig näher erläutern könnten, wäre das eine gute Antwort!
@ACuriousMind: Fertig (aber es ist ein bisschen skizzenhaft, da ich jetzt nicht so viel Zeit habe; insbesondere wäre es schön, auch ein Bild der spezifischen Wärme für das 2d-Ising-Modell auf einem endlichen Torus zu liefern als Grenzmenge).

Antworten (1)

Als erstes ist zu erkennen, dass es in endlichen Systemen keine "echten" Phasenübergänge (im Sinne eines nicht-analytischen Verhaltens thermodynamischer Potentiale) gibt. Dies ist die Hauptschwierigkeit, der man gegenübersteht, wenn man Phasenübergänge unter Verwendung (der meisten) Computersimulationsschemata analysiert.

Insbesondere sind solche Simulationen nur zuverlässig, solange die beobachtete Korrelationslänge deutlich kleiner ist als die lineare Größe des Systems. Wenn es jedoch einen Phasenübergang zweiter Ordnung gibt, divergiert die Korrelationslänge am kritischen Punkt, was impliziert, dass das in einem endlichen System beobachtete Verhalten nahe der "wahren" kritischen Temperatur geglättet wird (und es stellt sich heraus , das natürliche Finite-Volumen-Analogon des kritischen Punktes ist verschoben, siehe unten).

Nun wird natürlich ein ausreichend großes endliches System immer noch ein Verhalten zeigen, das einem Phasenübergang "ähnlich" ist, aber mit geglätteten Singularitäten. Die Extrapolation von Ergebnissen auf unendliche Systeme erfordert dann (i) die Bestimmung von Finite-Volumen-Analoga der Grenzgrößen (insbesondere der kritischen Temperatur), (ii) die Untersuchung, wie sich diese Finite-Volumen-Größen ändern, wenn das System vergrößert wird. Um bei diesem Extrapolationsverfahren zu helfen, haben Physiker verschiedene Theorien zur Skalierung endlicher Größe entwickelt.

Ich gehe davon aus, dass Sie an einem Torus (dh mit periodischen Randbedingungen) linearer Größe arbeiten L . Dies ist der einfachste Fall, soweit Effekte endlicher Größe betroffen sind, da man dann die zusätzlichen Schwierigkeiten vermeidet, die mit dem Vorhandensein der Systemgrenze verbunden sind.

Die erste detaillierte Skalierungstheorie endlicher Größe wurde 1969 von Ferdinand und Fisher in einem klassischen Artikel entwickelt, der in Phys. Rev. 185, 832 . Sie nutzten die genauen Ergebnisse, die für das zweidimensionale Ising-Modell verfügbar sind, um endliche Größeneffekte auf die freie Energie und die spezifische Wärme zu analysieren.

Die spezifische Wärme eines Ising-Modells mit endlichem Volumen divergiert nicht. Allerdings zeigt er in einem schmalen Bereich um den „wahren“ kritischen Punkt immer noch einen starken Anstieg T C . Fisher und Ferdinand schlugen vor, das Finite-Volumen-Analogon zu definieren T C ( L ) der kritischen Temperatur als Wert der Temperatur, bei der die spezifische Wärme maximal ist. Das haben sie dann argumentiert

T C − T C ( L ) ∼ L − 1 / v ,
Wo v ist der kritische Exponent, der der spezifischen Wärme zugeordnet ist, die gegeben ist durch v = 1 für das zweidimensionale Modell.

Danke. Das ist genau das, wonach ich gesucht habe. Der T C Schätzungen, die ich bekam, geben die Proportionalitätskonstante an A ∗ fast genau ein Faktor 4 von Ferdinand und Fishers -.3603. Ich wählte die Temperatur, indem ich mir die Log-Log-Plots der Clustergrößenverteilung ansah und diejenigen auswählte, die die geradeste Linie der möglichen Größen ergaben. Nicht sehr streng, aber ich erhalte eine 3-stellige Übereinstimmung mit ihrer Formel für die Gittergrößen 64, 127, 512 nach der Faktor-4-Anpassung. Ich frage mich, warum der Faktor 4.
Kritische Temperatur und Gittergröße mit dem Wolff-Algorithmus für das 2D-Ising-Modell
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