1D-Ising-Modell mit unterschiedlichen Randbedingungen

Der Hamiltonian für das eindimensionale Ising-Modell ist gegeben durch:

H = − J ∑ < ich J > S ich S J ; ich , J = 1 , 2 , . . . , N + 1
Wo < ich J > bedeutet, dass es eine Nächste-Nachbar-Approximation gibt. Die Partitionsfunktion ist gegeben durch
Z = ∑ { S ich } e − β H ( S ich )
mit β = 1 k B T , Wo k B ist die Boltzmann-Konstante und T ist die Temperatur. Nun sind meine Fragen:

1. Wie man die Partitionsfunktion wann berechnet S N + 1 = + 1 während andere sich drehen ( S ich für ich = 1 , 2 , . . . , N ) Wert annehmen kann + 1 oder − 1 ?

2. Wie man die Partitionsfunktion wann berechnet S N + 1 = − 1 während andere sich drehen ( S ich für ich = 1 , 2 , . . . , N ) Wert annehmen kann + 1 oder − 1 ?

Kannst du uns zeigen, welche Arbeiten du gemacht hast und was genau dich verwirrt?
Für (1.) lautet die Partitionsfunktion Z ( N + 1 ) = ∑ S 1 . . . ∑ S N e β ( S 1 S 2 + . . . + S N − 1 S N ) e β S N . Wie nimmt man nun die Summen?

Antworten (2)

1.

Z ( N + 1 , + ) = ∑ S 1 . . . ∑ S N e K ( S 1 S 2 + S 2 S 3 + . . . + S N − 1 S N e K S N
Wo K = β J . Wir definieren neue Variablen,
η ich = S ich S ich + 1 ; ich = 1 , 2 , . . . , N − 1
Der η ich s nehmen Wert:
η ich = { + 1 Wenn S ich = S ich + 1 − 1 Wenn S ich ≠ S ich + 1
Dann wird die Partitionsfunktion zu
Z ( N + 1 , + ) = ∑ S N ∑ { η ich } e K ∑ ich = 1 N − 1 η ich e K S N = ∑ S N { ∏ ich = 1 N − 1 ∑ { η ich } e K η ich } e K S N = ∑ S N ( 2 C Ö S H K ) N − 1 e K S N = ( 2 C Ö S H K ) N − 1 ( e K + e − K ) = ( 2 C Ö S H K ) N
2. Auf ähnliche Weise können wir zeigen, dass
Z ( N + 1 , + ) = Z ( N + 1 , − ) = ( 2 C Ö S H K ) N .

Siehe Isings Aufsatz von 1925 in Zeit. für Physik. Seine Gleichung zeigt die Zustandsdichte (DOS) und hat einen Parameter für s(N+1), der auf +1 oder -1 gesetzt werden kann. Gegen Ende der Arbeit fasst er diesen Parameter zusammen. Versuchen Sie in Ihrer Frage, die DOS mit dem Boltzmann-Faktor zu multiplizieren, um den Partitionsfaktor zu erhalten.

Danke schön. Aber ich kann kein Deutsch.
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