Mean-Field-Theorie im 1D-Ising-Modell

Ein Mean-Field-Theory-Ansatz für das Ising-Modell ergibt eine kritische Temperatur k B T C = Q J , Wo Q ist die Anzahl der nächsten Nachbarn und J ist die Wechselwirkung im Ising-Hamiltonoperator. Einstellung Q = 2 für den 1D-Fall gibt k B T C = 2 J . Basierend auf diesem Argument würde es im 1D-Ising-Modell einen Phasenübergang geben. Das ist offensichtlich falsch.

Ist die Mean-Field-Theorie für den 1D-Fall ungültig? Übersehe ich hier etwas?

Antworten (1)

Ja, die Mean-Field-Theorie ist für den eindimensionalen Fall falsch (und auch für die zwei- und dreidimensionalen Fälle falsch, in denen der Übergang existiert, aber die Mean-Field-Näherung die falsche kritische Temperatur und Exponenten erhält). Tatsächlich ist es eine typische Übung im ersten Jahr, das 1D-Ising-Modell exakt mit Transfermatrizen zu lösen, und ich schlage vor, dass Sie sich damit befassen.

Die Mean-Field-Näherung liegt in der Annahme, dass es keine thermischen Fluktuationen um die von Ihnen vorgeschlagene Näherungslösung gibt (dh einen Zustand mit ferromagnetischer Ordnung), aber in niedrigen Dimensionen ist diese Näherung oft qualitativ falsch.

Die Mean-Field-Theorie des Ising-Modells ist zufällig in 4 Dimensionen genau, aber kompliziertere Phasenübergänge können durch die Mean-Field-Theorie für noch höhere Dimensionen möglicherweise nicht gut beschrieben werden (dies wird als "obere kritische Dimension" bezeichnet).

Gibt es eine intuitive Erklärung, warum die thermischen Schwankungen bei kleineren Dimensionen eine wichtigere Rolle spielen?
Aufgrund der quantenklassischen Abbildung können wir Fluktuationen im Allgemeinen durch einfache klassische nicht-wechselwirkende Systeme, zB kanonische Gesamtheit, verstehen N freie Teilchen hinein D räumliche Dimensionen. Aus dem Gleichverteilungssatz haben wir ⟨ E ⟩ = D / 2 N k T ∼ D N . Die Energiefluktuation wird durch den Ensemblemittelwert angegeben ⟨ Δ E 2 ⟩ = − ∂ ⟨ E ⟩ ∂ β ∼ D N . Daher haben wir ⟨ Δ E 2 ⟩ / ⟨ E ⟩ ∼ 1 D N , dh die Fluktuation ist kleiner, wenn wir mehr Teilchen in höheren Dimensionen haben.
Dies läuft letztendlich auf die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems hinaus, das heißt D N in diesem Fall. Und dass die Fluktuation umgekehrt mit skaliert D N kann als Folge des zentralen Grenzwertsatzes betrachtet werden.
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