Wird der Potts mit q-Zuständen zum XY-Modell im großen q-Zustand?

Ich bin mehrfach in Veröffentlichungen auf die Reihenfolge des Phasenübergangs gestoßen Q -State Potts-Modell hängt ab Q . B. in zwei Dimensionen, z Q = 2 (das Ising-Modell), 3 , 4 der Ordnungs-Unordnungs-Phasenübergang ist zweiter Ordnung, während z Q > 4 der Phasenübergang wird erster Ordnung. In drei Dimensionen, nur wenn Q = 2 der Phasenübergang ist zweiter Ordnung, während z Q > 3 der Phasenübergang ist erster Ordnung.

Aber falls Q unendlich wird, sagen wir in der Kontinuumsgrenze, wird ein Potts-Modell zum XY-Modell? Es ist jedoch bekannt, dass das XY-Modell einen KT-Übergang in zwei Dimensionen und einen Phasenübergang zweiter Ordnung in drei Dimensionen hat.

@YvanVelenik das sollte wohl eine Antwort sein

Antworten (1)

Ich denke, dass Sie wirklich daran interessiert sind Q -State Clock-Modell, das dem Potts-Modell ähnlich ist und wie folgt definiert ist. Korrigieren Sie eine ganze Zahl Q ≥ 2 . Für jede ich ∈ Z D , lassen

θ ich ∈ { 2 π Q k : k ∈ { 0 , 1 , … , Q − 1 } } ,
und den Spin vor Ort definieren ich von
S ich = ( cos ⁡ θ ich , Sünde ⁡ θ ich ) .
Der Hamiltonoperator ist gegeben durch
H = − β ∑ ich ∼ J S ich ⋅ S J ,
wo die Summe über nächste Nachbarn und ist X ⋅ j bezeichnet das Skalarprodukt in R 2 .

Beachten Sie, dass dieses Modell nur dann mit dem Potts-Modell übereinstimmt Q = 2 oder Q = 3 . Für höhere Werte von Q , die Symmetriegruppe ist kleiner. Es ist jedoch eine echte Diskretisierung des XY-Modells, so viel näher an dem, was Sie sich vorgestellt haben.

In einem sehr genauen Sinne, die Q -State Clock-Modell verhält sich wie das XY-Modell, sobald Q ist groß genug; dies ist das Phänomen der Verstärkung der Symmetrie . Insbesondere für ausreichend große Werte von Q , genießt dieses Modell in zwei Dimensionen:

  • Eindeutigkeit bei hoher Temperatur, mit exponentiellem Abfall der 2-Punkt-Funktion
  • eine masselose Phase bei mittlerer Temperatur mit algebraischem Zerfall der 2-Punkt-Funktion
  • geordnete Phasen bei niedrigen Temperaturen, ohne Abfall der 2-Punkt-Funktion

Siehe dieses berühmte Papier von Fröhlich und Spencer für einen rigorosen Beweis. Das sollte eigentlich für jeden gelten Q ≥ 5 , ist aber nur bewiesen Q groß genug.

An der Grenze Q → ∞ , verschwindet die geordnete Niedrigtemperaturphase und Sie haben das XY-Modell übrig.

Wird der Potts mit q-Zuständen zum XY-Modell im großen q-Zustand?
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