Welche Neuerungen hat das Heisenberg-Modell gegenüber dem Ising-Modell?

Sowohl das Ising- als auch das Heisenberg-Modell beschreiben Spingitter mit Wechselwirkung mit ersten Nachbarn. Der Hamilton-Operator ist in jedem Fall ziemlich ähnlich, obwohl de Spins als Ising-Variablen (1 oder -1) oder als Quantenoperatoren behandelt werden. Im Fall Ising sieht es danach aus

H Ich singe = −   J ∑ ⟨ ich   j ⟩ s ich z   s j z

wobei J die Kopplungskonstante ist ( J > 0 für Ferromagnet u J < 0 für Antiferromagnet), ⟨ ich   j ⟩ repräsentiert Summe über erste Nachbarn und s z ist der Spin in z-Richtung. Auf der anderen Seite ist das Heisenberg-Modell

H Heisenberg = −   J ∑ ⟨ ich   j ⟩ S ^ ich ⋅ S ^ j

wobei der einzige Unterschied darin besteht, dass die Spins Operatoren sind. (In beiden Fällen habe ich der Einfachheit halber die Wechselwirkung mit einem externen Feld weggelassen)

Meine Frage ist: Welche neuen Phänomene bringt die Behandlung der Spins als Operatoren mit sich? Ich kann sehen, dass S ^ ich   .   S ^ j berücksichtigt den Spin in jede Richtung und nicht nur z, aber ich kann die physikalische Implikation nicht erkennen.

Die Frage fühlt sich ein bisschen breit an (und außerdem unterscheidet sich die Frage im Titel von der Frage in der Frage). Grundsätzlich fragen Sie nach einer Liste, die nicht gut zum Format der Website passt. Sie könnten versuchen, es einzugrenzen: Um welche Art von Eigenschaften kümmern Sie sich (oder kümmern Sie sich nicht) und warum?
Sie haben Recht, es war etwas vage ... Entschuldigung! Ich interessiere mich speziell für zwei Dinge. Verstehen, warum das Heisenberg-Modell Spinwellenlösungen hat und das Ising-Modell nicht und wie die Phasenübergänge in beiden Modellen sind.
Ah, warum grenzen Sie Ihre Frage dann nicht entweder (i) auf EINE davon ein oder (ii) posten Sie eine neue Frage? Denken Sie daran, dass die Idee dieser Website darin besteht, eine Art Q&A-Wissensdatenbank aufzubauen. Je spezifischer die Fragen sind, desto besser dienen sie als Referenz für zukünftige Benutzer.
In Bezug auf "Verstehen, warum das Heisenberg-Modell Spinwellenlösungen hat, während das Ising-Modell keine hat " - Spinwellen erfordern eine kontinuierliche Symmetrie, daher machen sie überhaupt nur im Heisenberg-Modell Sinn!
vielen Dank für Ihre Antworten. Was bedeutet "Spinwellen erfordern kontinuierliche Symmetrie"?
Ich habe diesen Wikipedia-Artikel gelesen und dachte nicht, dass er eine Erklärung für die Anforderung der kontinuierlichen Symmetrie enthält.
Aus dem Wikipedia-Artikel: „Aus dieser Erklärung kann man ersehen, warum der Magnet des Ising-Modells mit diskreter Symmetrie keine Spinwellen hat: Die Vorstellung, eine Störung im Spingitter über eine lange Wellenlänge zu verteilen, macht keinen Sinn, wenn Spins nur zwei mögliche Orientierungen haben. " Im Wesentlichen: Sie können einen Spinwellenansatz für das Ising-Modell machen, aber es hat keinen Sinn: Das lokale Umdrehen eines Spins ist bereits ein Eigenzustand. Aber wenn Sie eine spezifischere Frage zur Spinwellentheorie haben, sollten Sie eine neue Frage stellen: Kommentare können jederzeit gelöscht werden.

Antworten (2)

Da dies eine listenartige Frage ist, lassen Sie mich ein paar Dinge auflisten (ohne viel Diskussion - Sie können gerne spezifische Fragen zu einzelnen Punkten stellen). Jedes Item erwähnt, was das Heisenberg-Modell (HM) im Gegensatz zum Ising-Modell (IM) hat.

  • kontinuierliche Symmetrie vs. diskrete Symmetrie

  • als Folge: lückenlose Anregungen immer dann, wenn die Symmetrie gebrochen ist (also in allen Fällen außer beim 1D-Antiferromagneten -- dort gibt es aber aufgrund des Satzes von Lieb-Schultz-Mattis lückenlose Moden)

  • als Konsequenz daraus: kein spontaner Symmetriebruch in ein- und zweidimensional bei endlicher Temperatur (im Gegensatz zum 2D-HAFM), das ist das Mermin-Wagner-Theorem

  • nicht pendelnde Terme: Die Eigenzustände haben normalerweise keine einfache Form (im Gegensatz zum IM, das pendelnde Terme hat).

  • der IM-Hamiltonoperator hat ganzzahlige Eigenwerte (mal J ), während wir die Eigenwerte des HM nicht einfach charakterisieren können

Einige Vorbehalte jedoch:

  • Einige dieser Eigenschaften gelten aufgrund der kontinuierlichen vs. diskreten Symmetrie und nicht der klassischen vs. Quantensymmetrie

  • Einige der Eigenschaften gelten eher aufgrund von pendelnder vs. nicht pendelnder als diskreter vs. kontinuierlicher Symmetrie

  • einige dieser Eigenschaften gelten nur für (unendliche) Gitter, andere bereits auf der Ebene weniger Spins

Groß. Zwei weitere fallen mir ein: (1) die HM (zumindest wann J < 0 gemäß der OP-Konvention) kann niemals glatt mit einem klassischen Grundzustand verbunden werden (während die kontinuierliche Symmetrie des Hamilton-Operators erhalten bleibt), selbst wenn der Grundzustand spontan die Symmetrie bricht, und (2) aufgrund seiner größeren Quanteneffekte kann das HM haben andere Phasen als das spontane Brechen ihrer Spinsymmetrie (oder die triviale Phase), wie z.
@RubenVerresen Ich bin mir nicht sicher, ob ich der Begründung der ersten Aussage vollständig folge (obwohl ich ihr irgendwie zustimme) ... Haben Sie ein bestimmtes Gitter im Sinn oder ist dies eine allgemeine Aussage? Was würde zB in unendlichen Dimensionen passieren? Beachten Sie zu (2), dass auch das Ising-AFM eine reichhaltigere Physik auf frustrierten Gittern hat!
Danke, dass du mich auf den richtigen Weg gebracht hast (2). Ich frage mich, inwieweit man argumentieren könnte, dass die HM-Physik in Bezug auf mögliche Phasen streng genommen reicher ist als die IM-Physik. Was (1) betrifft, so war es ein Fall, laut zu denken, aber im Fall einer spontanen Symmetriebrechung würde ich Folgendes argumentieren: Wenn wir mit einem Neel-Grundzustand beginnen und nur sanfte Änderungen zulassen, die den erhalten S Ö ( 3 ) Symmetrie, dann muss die Niederenergietheorie linear bleiben. Es reicht also aus, die vielleicht natürlichere Aussage zu argumentieren, dass ein klassischer Grundzustand niemals Niedrigenergiemoden mit einer linearen Dispersion haben kann.
Ich weiß nicht, wie ich die letzte Aussage am effizientesten argumentieren soll, aber ich kann mir vorstellen, dies zu verwenden, da die Niederenergietheorie im Wesentlichen durch ein masseloses relativistisches Feld beschrieben wird, wir wissen, dass ihre Grundzustandsverschränkung einem bestimmten Skalierungsgesetz gehorchen muss (und in insbesondere ungleich Null sein). Es wäre interessant, die allgemeinere Aussage zu beweisen: „Der Grundzustand des Heisenberg-AFM – auf jedem Gitter – kann niemals unter Beibehaltung glatt mit einem klassischen Grundzustand verbunden werden S Ö ( 3 ) Symmetrie." Zumindest kann ich mir kein Gegenbeispiel vorstellen, aber vielleicht fehlt mir einfach die Kreativität :)
@RubenVerresen "Wenn wir mit einem Neel-Grundzustand beginnen" - bedeutet das, dass Sie ein quadratisches Gitter annehmen? Da das Modell lückenlos ist, bin ich mir in diesem Fall nicht sicher, was genau Sie mit "glatt verbunden" meinen (da ich vermute, dass "klassischer Grundzustand" Lücken bedeutet). Aber was ist, wenn wir ein Modell auf einem Gitter haben, wo es, sagen wir, dimerisiert?
Richtig, ich habe in dem Fall gearbeitet, in dem es zu einem spontanen Symmetriebruch kommt S Ö ( 3 ) . Ich stimme zu, dass "glatt verbunden" etwas vage ist, ich würde ihm seine intuitive Bedeutung geben: Die Physik sollte sich nicht diskret ändern (was natürlich immer noch vage ist). Und ich würde nicht annehmen, dass "klassischer Grundzustand" Lücken bedeutet, zB wenn ich an die Heisenberg FM denke. Mit „klassisch“ meine ich keine Verschränkung im Grundzustand. Denken Sie darüber nach, falls der Grundzustand nicht bricht S Ö ( 3 ) (aber zum Beispiel bricht die Übersetzungssymmetrie), dann können wir nicht einmal einen klassischen Zustand aufschreiben, oder?
@RubenVerresen Nun, hängt davon ab, was Sie unter "keine Verstrickung" verstehen. Man könnte vernünftigerweise argumentieren, dass ein dimerisierter „Karikatur“-Zustand, der nur aus NN-Singuletts besteht, „keine Verschränkung“ aufweist, da es keine nicht-triviale Verschränkung gibt – nach einem Realraum-RG-Schritt ist es ein vollständiger Produktzustand!
Ich stimme zu, frage mich jedoch: Benötigen wir nicht normalerweise eine solche Blockierung, um die relevanten Symmetrien zu erhalten? Wenn wir also eine Phase betrachten, in der die Translationssymmetrie spontan durch Dimerisierung gebrochen wird, dann möchten wir vielleicht keinen solchen RG-Schritt durchführen, oder? Immerhin hätte das die Phase von „Symmetry Breaking“ zu „Trivial“ verändert.

Einer der Hauptunterschiede besteht darin, dass das Ising-Modell auf einer diskreten Symmetrie (der Z 2 Symmetrie), während das Heisenberg-Modell auf einer stetigen liegt (Rotationssymmetrie). Es wird die Phasenübergänge beeinflussen, denen diese Modelle unterliegen.

Insbesondere kann es aufgrund des Mermin-Wagner- Theorems keinen Phasenübergang bei endlicher Temperatur des Heisenberg-Modells geben d = 2 (abgesehen vom sehr speziellen Fall des BKT-Übergangs).

Dies ist beim Ising-Modell nicht der Fall, das bei endlicher Temperatur einen Phasenübergang von einem hohen T ungeordneter Zustand zu einem niedrigen T bestellter Zustand in d = 2 (Die genaue Lösung wurde sogar von Onsager und später von anderen berechnet).

Es steckt wahrscheinlich viel mehr dahinter als in diesem speziellen Fall. Sie können meine Antwort gerne bearbeiten, wenn Sie etwas hinzufügen möchten.

Wenn ich mich nicht irre, weist das Heisenberg-Modell im Gegensatz zum Ising-Modell auch nicht die Kramers-Wannier-Dualität in d = 2 auf.
Ich weiß nichts über diese Dualität, Sie können meine Antwort gerne bearbeiten oder eine andere darüber posten :)
Welche Neuerungen hat das Heisenberg-Modell gegenüber dem Ising-Modell?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v