Warum gilt Josephsons Identität dν=2−αdν=2−αd\nu=2-\alpha nur für die mittlere Feldtheorie in Dimension 444?

Das Skalierungsverhältnis$\alpha = d \nu-2$handelt es sich tatsächlich um eine Hyperscaling-Beziehung, die nur unterhalb der oberen kritischen Dimension gilt (hier wie immer direkt an der oberen kritischen Dimension).$d=4$, gibt es logarithmische Korrekturen des Skalierungsgesetzes, sodass die Hyperscaling-Beziehung nicht wirklich wahr ist).

Diese Beziehung kann durch einige RG-Argumente für den Fluss der freien Energie erhalten werden. Nach Neuskalierung der Längen um einen Faktor$s$, Man erhält

$$f(\tau,u)=s^{d} f(\tau s^{1/\nu},u s^{-y}),$$ mit $y>0$der niedrigste irrelevante kritische Exponent. Hier $u$ein irrelevanter Operator ist (bezogen auf die Interaktion in a $\phi^4$Theorie). Wählen $s=\tau^{-\nu}$, wir bekommen ( $F(x)=f(1,x)$) $$f(\tau,u)=\tau^{\nu d} F(u \tau^{\nu y}).$$ Vorausgesetzt, dass $F(x)$ist regelmäßig wie $x\to 0$, das einzigartige Verhalten von $f$wird von gegeben $\tau^{\nu d}$von denen wir kommen $\alpha$durch zweimalige Ableitung bzgl $T$. Damit erhalten wir die entsprechende Hyperscaling-Relation.

Diese Annahme versagt jedoch z$d\geq 4$, als$F(x)$ist in diesem Fall singulär (das liegt daran, dass der RG-Fixpunkt jetzt der Gaußsche Fixpunkt ist, anstatt der Wilson-Fisher-Fixpunkt). Durch ein mittleres Feldargument erhält man$F(x)\propto 1/x$stattdessen und$u$heißt gefährlich irrelevante Variable (gefährlich weil$F$ist einzigartig als$x\to 0$). Außerdem$y=d-4$, und wenn man alles zusammenfügt, erholt man sich$\alpha=0$, wie von einer reinen Mean-Field-Berechnung erwartet.